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Lie-Ableitung

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Inhaltsverzeichnis

Lie-Ableitung für Funktionen und Vektorfelder

Definition der Lie-Ableitung für Funktionen

Seien M eine C^\infty-Mannigfaltigkeit, f\in C^\infty(M,\mathbb{R}) eine glatte Funktion und X\in C^\infty(M,TM) ein glattes Vektorfeld. Die Lie-Ableitung der Funktion f in einem Punkt p\in M ist die Ableitung von f entlang X.

\mathcal{L}_Xf(p)=X_p(f)

In lokalen Koordinaten bedeutet das:

\mathcal{L}_Xf(p)= \sum_{a\in A} X^a\frac{\partial f}{\partial x^a}

mit

X= \sum_{a\in A} X^a\frac{\partial }{\partial x^a}.

Betrachten wir dazu in lokalen Koordinaten eine Basis dxa des dualen Kotangentialbündels T^\star M, erhalten wir zu f : M \to \mathbb{R} eine 1-Form df : M \to T^\star M im Kotangentialbündel mit:

df = \sum_{a\in A} \frac{\partial f} {\partial x^a} dx^a.

Vergleich mit der ursprünglichen Definition liefert in lokalen Koordinaten:

\mathcal{L}_Xf(p)=df(p)\, [X(p)]=\sum_{a\in A} X^a\frac{\partial f}{\partial x^a},

bzw. global:

\mathcal{L}_Xf= df\, [X].

Lie-Ableitung von Vektorfeldern

Seien X,\,Y zwei glatte Vektorfelder über einer glatten Mannigfaltigkeit M. In lokalen Koordinaten erhalten wir:

X= \sum_{a\in A} X^a\frac{\partial }{\partial x^a}\; bzw.\;Y= \sum_{a\in A} Y^a\frac{\partial }{\partial x^a}.
\mathcal{L}_X Y = [X,Y].

Offensichtlich ist

[X,Y] := \sum_{a\in A} \left( \sum_{b\in A} X^b \frac{\partial Y^a}{\partial x^b} - \sum_{b\in A} Y^b \frac{\partial X^a}{\partial x^b}\right) \frac{\partial}{\partial x^a}

wieder ein glattes Vektorfeld über M.

\mathcal{L}_X Y = [X,Y].

Eigenschaften

Die Menge aller glatten Funktionen \mathcal{A}(M)=C^\infty(M,\mathbb{R}) ist bzgl. der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung ist eine Abbildung:

\mathcal{L}_X : \mathcal{A}(M) \to \mathcal{A}(M)

mit den folgenden Eigenschaften:

  • \mathcal{L}_X ist \mathbb{R}-linear
  • \mathcal{L}_X(fg)=(\mathcal{L}_Xf) g + f\mathcal{L}_Xg .

Man nennt so eine Abbildung auch eine Derivation.

Bezeichnen wir mit \mathcal{X}(M) die Menge aller glatten Vektorfelder über M, dann ist die Lie-Ableitung ist auch eine Derivation auf \mathcal{A}(M) \times \mathcal{X}(M)

  • \mathcal{L}_X(fY)=(\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y.

Ferner gilt die Jacobi-Identität:

  • \mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z]

Wir halten fest: \mathcal{X}(M) bildet eine Lie-Algebra.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen

Gegeben seinen

  • eine glatte Mannigfaltigkeit M,
  • ein glatter Schnitt im Tangentialbündel, also ein glattes Vektorfeld und
  • eine k+1-Form \alpha \in \Lambda^{k+1}(M).

Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und α definieren:

(i_X\alpha) (X_1, \ldots, X_k) = (k+1)\alpha (X,X_1, \ldots, X_k)\,

also eine Abbildung:

i_X:\Lambda^{k+1}(M) \ni\alpha\rightarrow i_X\alpha\in\Lambda^k(M)

Eigenschaften der Lie-Ableitung

  • iX ist R-linear
  • für beliebiges f\in \Lambda^0(M) gilt ifXα = fiXα
  • Sei β eine beliebige Differentialform über M und \alpha\in\Lambda^k(M)
i_X (\alpha \wedge \beta) = (i_X \alpha) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge (i_X \beta)

Weiter oben hatten wir die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X für Funktionen über M definiert:

\mathcal{L}_Xf = i_X df

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X wie folgt definiert:

\mathcal{L}_X\alpha = \left(i_X\circ d\ + d\circ i_X\right) \alpha.

Eigenschaften:

  • \mathcal{L}_{fX}\alpha = f\mathcal{L}_X\alpha + df \wedge i_X \alpha
  • \mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta)
  • [\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\alpha:= \mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\alpha-\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\alpha=\mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha
  • [\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha=[i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha=i_{[X,Y]}\alpha.
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