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Levi-Civita-Zusammenhang

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Der Levi-Civita-Zusammenhang ist ein Objekt im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie und findet auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie. Ein Zusammenhang ist dabei ein mathematisches Hilfsmittel, um in einem gekrümmten Raum (einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit) Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und somit Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen; für Details siehe auch Paralleltransport.

Der Levi-Civita-Zusammenhang ist dabei derjenige Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer (semi-)riemannschen Mannigfaltigkeit, der sich auf natürliche Weise aus der verwendeten Metrik ergibt.

Formale Definition

Sei (M,g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Ein affiner Zusammenhang \nabla heißt Levi-Civita-Zusammenhang (nach Tullio Levi-Civita), falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. „\nabla ist torsionsfrei“, d.h. für Vektorfelder X and Y gilt:
    \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]
    Hierbei bezeichnet [X,Y] die Lie-Klammer der Vektorfelder X und Y.
  2. „\nabla ist verträglich mit der Metrik g “, d.h. für Vektorfelder X, Y, Z gilt:
    Z(g(X,Y)) =g(\nabla_Z X,Y)+g(X,\nabla_Z Y)
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