Lemma von Lax-Milgram

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Das Lemma von Lax-Milgram wurde nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt.

Es ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Es verallgemeinert die Aussage des Rieszschen Darstellungssatzes auf stetige, koerzitive Sesquilinearformen. Es besagt

Aussage

Es sei $\left(H, \langle.,.\rangle \right)$ ein Hilbertraum (über $\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}$ ) und es sei $B: H \times H \to \mathbb K$ sesquilinear. Ist dann $B$ stetig, d.h. es gibt ein $M \in \mathbb R$ mit

$|B(x,y)| \leq M\|x\|\|y\|, \quad \forall \, x,y \in H$

und koerzitiv, d.h. es gibt $m > 0$ so, dass

$B(x,x) \geq m\|x\|^2, \quad \forall x \in H$

dann existiert genau ein stetiger, linearer Automorphismus $T: H \to H$ so, dass $B(x,y) = \langle x,Ty \rangle$ für alle $x,y \in H$ .

Zudem gelten die Abschätzungen $\left\|T\right\| \leq M$ und $\left\|T^{-1}\right\| \leq 1/m$ .

Anwendungen findet das Lemma von Lax-Milgram hauptsächlich in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen.

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