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Legendresche Vermutung
Aus Kefk.
In der Zahlentheorie besagt die Legendresche Vermutung (nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre), dass für natürliche n zwischen n² und (n+1)² eine Primzahl existiert.
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Beispiele
Für n=1, 2, 3, 4 und 5 erfüllen 2, 5, 11, 17 und 29 die Bedingungen der Vermutung.
Teilergebnisse
Bewiesen ist, dass eine prime oder eine aus zwei Primzahlen zusammengesetzte Zahl zwischen n² und (n+1)² liegt.
Verschärfungen der Vermutung
Im "Buch der Beweise", von Aigner, Martin und ... wird eine Frage von Opperman (1882) erwähnt: "Gibt es für n>=2 mindestens eine Primzahl zwischen (n-1)n und n², und mindestens eine zwischen n² und n(n+1)? Gibt es also zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen immer mindestens zwei Primzahlen?". Diese Vermutung ist ebenfalls noch nicht bewiesen - da es sonst die Legendresche auch wäre. Bewiesen ist aber, dass zwischen hinreichend großen benachbarten Kubikzahlen mindestens 2 Primzahlen existieren.
Beispiele für die Verschärfungen
Für n=2, 3, 4 und 5 erfüllen (., 3), (5, 7), (11, 13), (17, 23) und (29, .) die Bedingungen der verschärfenden Vermutungen.
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