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Legendre-Polynom

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Die Legendre-Polynome sind die partikulären Lösungen der Legendre'schen Differentialgleichung. Sie sind spezielle reelle oder komplexe Polynome, die ein orthogonales Funktionensystem bilden. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik.

Inhaltsverzeichnis

1 Herkunft
- 1.1 Konstruktion orthogonaler Polynome
- 1.2 Legendresche Differentialgleichung
2 Legendre-Polynome
3 Legendre-Funktionen 2. Art
4 Siehe auch

Herkunft

Konstruktion orthogonaler Polynome

Für ein Intervall $I = [a, b]$ und eine darauf gegebene Gewichtsfunktion $\varrho(x)$ ist eine Folge $(P n)$ von reellen Polynomen $P_n\in\R[X]$ orthogonal, wenn sie die Orthogonalitätsbedingung

$\int\limits_a^b \varrho(x) \, P_n(x) \, P_m(x) \, dx = 0$

für alle $m, n\in\Bbb N_0$ mit $m\neq n$ erfüllt. Für das Intervall $I = [ - 1,1]$ zusammen mit der einfachsten aller Gewichtsfunktionen $\varrho(x) = 1$ können solche orthogonale Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren ausgehend von den Monomen $(x^n)_{n\in \Bbb N}$ iterativ erzeugt werden. Die Legendre Polynome ergeben sich, wenn dabei zusätzlich $P n (1) = 1$ gefordert wird.

Legendresche Differentialgleichung

Die Legendre-Polynome $P n (x)$ sind Lösungen der Legendreschen Differentialgleichung

$(1-x^2)\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0,\quad n\in\mathbb{N}_0,$

welche auch in der Form

$\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \, f'(x) \right] + l\,(l+1) \, f(x) = 0$

geschrieben werden kann. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet

$f(x)=A\,P_n(x)+B\,Q_n(x).$

mit den beiden linear unabhängigen Funktionen $P n (x)$ und $Q n (x)$ . Man bezeichnet die Legendre-Polynome $P n (x)$ daher auch als Legendre-Funktionen 1. Art und $Q n (x)$ als Legendre-Funktionen 2. Art, denn diese sind keine Polynome mehr.

Legendre-Polynome

Das $n$ -te Legendre-Polynom hat den Grad $n$ und ist aus $\Bbb Q[x]$ , d.h. es hat rationale Koeffizienten. Für die Legendre-Polynome gibt es mehrere Darstellungsformen, bzw. man kann sie rekursiv bestimmen.

Rodriguez-Formel

$P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!}\cdot {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]$

Alternative Darstellung

$P_n(x) = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} \left[ x^n - \frac{n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}x^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}x^{n-4} \mp \ldots \right]$

Integraldarstellung

Für $x \in \mathbb{C} \setminus \{+1;-1\}$ gilt:

$P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi\right]^n \, \mathrm{d}\varphi$

Rekursionsformeln

Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:

$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2,\ldots)$

$(x^2-1){\mathrm{d} \over \mathrm{d}x } P_n(x) = n xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$

Die erste rekursive Formel lässt sich mittels der Substitution n'=n+1 auch wie folgt darstellen:

$nP_{n}(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=0,1,\ldots)$

Durch Anwendung der Ableitungsregel für Ausdrücke der Art $y = x n$ mit $y' = n x n - 1 = n x - 1 y$ , bzw. $y (m) = (n - m + 1) x - 1 y (m - 1)$ ergibt sich folgende rekursive Darstellung der Legendre-Polynome, welche auch die Ableitungen dieser Polynome berücksichtigt:

$(n-m)P_{n}^{(m)}(x) = (2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n,m=0,1,\ldots)$

Die Anfangsbedingungen lauten $P_m^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^m m!}$ und $P_{m+1}^{(m)}(x)={(2m+1)! \over 2^mm!}$ .

Bei $m = 0$ ergibt sich wiederum die weiter oben angegebene Formel mit ihren Anfangsbedingungen.

Eigenschaften

Vollständiges Orthogonalsystem

Man betrachte den Hilbert-Raum $V:= L_2([-1,1], \R)$ (dies ist ein Hilbertraum, das naheliegende Skalarprodukt ist $(f,g)= \int fg d\lambda$ ). Man zeigt, dass die (indizierte Familie von) Legendre-Polynome auf $(V,(.,.))$ ein vollständiges Orthogonalsystem bildet. Normiert man noch (oder ändert man das Skalarprodukt durch Multiplikation von Konstanten ab), so bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem auf V. $\int\limits_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, dx \,=\, \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}$ ,

wobei $δ n m$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Jede Funktion $f\in V$ lässt sich daher (natürlich im Sinne der von $(.,.)$ erzeugten Topologie) nach Legendre-Polynomen "entwickeln":

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)$

mit den Entwicklungskoeffizienten

$c_n = \frac{2\,n+1}{2} \, \int\limits_{-1}^1 f(x)\,P_n(x) \, dx.$

Es gilt die sog. Vollständigkeitsrelation

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{n} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)$

mit der Diracschen Delta-Distribution, welche dies garantiert.

Unter Verwendung des Skalarproduktes

$\langle f,g\rangle = \int\limits_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, dx$

kann man diese Eigenschaften auch kurz schreiben als

Orthogonalität: $\langle P_n(x), P_m(x)\rangle = 0$ für $m \neq n$
Vollständigkeit: $\langle P_n(x), P_n(x')\rangle = \delta(x' - x)$
Fourier-Entwicklung $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \langle f(x),P_n(x)\rangle \, P_n(x)$

Eigenschaften als orthogonales Polynom

$P n (x)$ hat auf dem Intervall $I = [ - 1,1]$ genau $n$ einfache Nullstellen. Zwischen zwei Nullstellen von $P n (x)$ liegt genau eine Nullstelle von $P n - 1 (x)$ .

Allgemeine Eigenschaften

P n (1) = 1

$P_n(-x) = (-1)^n \, P_n(x)$

$P_{2\,n+1}(0) = 0$

Erzeugende Funktion

Für $x \in \mathbb{C}$ , $z \in \mathbb{C}$ , $| z | < 1$ gilt:

$(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n$

Dabei hat die Potenzreihe auf der rechten Seite für $-1 \le x \le +1$ den Konvergenzradius 1.

Die Funktion $z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2}$ wird daher als erzeugende Funktion der Legendre-Polynome $P n$ bezeichnet.

Die ersten Legendre-Polynome

Bild:Legendrepolynome1.png

400px

Die ersten Legendre-Polynome auf $[ - 1,1]$ lauten:

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)$

$P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

Legendre-Funktionen 2. Art

Die Rekursionsformeln der Legendre-Polynome gelten auch für die Legendre-Funktionen 2. Art, sodass diese sich iterativ mit der Angabe der ersten bestimmen lassen:

$Q_0(x) = \frac{1}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)$

$Q_1(x) = \frac{x}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)$

$Q_2(x) = \frac{3\,x^2 - 1}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{3\,x}{2}$

$Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{5\,x^2}{2} + \frac{2}{3}$

Siehe auch

Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Legendre-Polynom, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

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Kategorien: Analytische Funktion | Wikipedia

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Konstruktion orthogonaler Polynome

Legendresche Differentialgleichung

Legendre-Polynome

Rodriguez-Formel

Alternative Darstellung

Integraldarstellung

Rekursionsformeln

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Vollständiges Orthogonalsystem

Eigenschaften als orthogonales Polynom

Allgemeine Eigenschaften

Erzeugende Funktion

Die ersten Legendre-Polynome

Legendre-Funktionen 2. Art

Siehe auch

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