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Leere Menge

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Die leere Menge ist ein Begriff aus der Mengenlehre. Man bezeichnet damit diejenige Menge, die keine Elemente enthält. Da Mengen gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben, gibt es nur eine einzige leere Menge.

Inhaltsverzeichnis

Notation

Als Zeichen für die leere Menge hat sich das von Nicolas Bourbaki verwendete Zeichen \varnothing (ein durchgestrichener Kreis) weitgehend durchgesetzt. Eine typographische Variante davon ist \emptyset (eine durchgestrichene Null).

Als typographischer Ersatz dient oft auch der skandinavische Buchstabe "Ø": ø oder Ø (ein durchgestrichenes o bzw. O), manchmal – wegen des ähnlichen Aussehens – auch eine Variante des griechischen Buchstabens "φ": \;\phi, mit dem es jedoch nicht verwechselt werden sollte. In manchen älteren Büchern wird auch 0 (Null) verwendet.

Alternativ kann man die leere Menge durch {} (leere Mengenklammern) notieren.

Definition (formal)

Eine Menge M ist genau dann die leere Menge, wenn für jedes denkbare Objekt gilt, dass es nicht Element von M ist. Formal schreibt sich das zu

M = \varnothing \Leftrightarrow \forall x : x \not\in M

Eigenschaften

  • Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
    \varnothing \subseteq A
  • Jede Menge bleibt bei Vereinigung mit der leeren Menge unverändert:
    \varnothing \cup A = A
  • Für jede Menge ist der Durchschnitt mit der leeren Menge die leere Menge:
    \varnothing \cap A = \varnothing
  • Für jede Menge ist das kartesische Produkt mit der leeren Menge die leere Menge:
    \varnothing \times A =\varnothing
  • Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge:
    A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing
    Daher ist die Potenzmenge der leeren Menge die Menge \left\{ \varnothing \right\} , die genau ein Element hat.
  • Für jede widersprüchliche Aussage oder nicht erfüllbare Eigenschaft E(x) gilt:
    \varnothing = \left\{ x \mid E(x) \right\}
    z.B. \varnothing = \left\{ x \mid x \in \mathbb Z , x+1=x+2 \right\}
  • Da die leere Menge keine Elemente hat, sind Aussagen der Art
    „für alle Elemente der Menge gilt…“
    für die leere Menge stets erfüllt, da es keine Elemente gibt, für die die fragliche Eigenschaft nachgeprüft werden müsste.
  • Für jede Menge A gibt es genau eine Abbildung
    f : \varnothing \to A

Kardinalzahl der leeren Menge

Die leere Menge ist die einzige Menge mit der Mächtigkeit Null:

\left\vert \varnothing \right\vert = 0

Sie ist daher auch der einzige Repräsentant der Kardinalzahl 0 und der Ordinalzahl 0.

Wikipedia
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