Lebesgue-Maß

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Das Lebesgue-Maß [ləˈbɛg] (nach Henri Léon Lebesgue) ist das Maß im euklidischen Raum, das geometrischen Objekten ihren Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen, ...) zuordnet.

Das Lebesgue-Maß ist aus der Sicht der modernen Mathematik der natürliche Begriff für Volumen und Flächeninhalt. Dieses Konzept ist das Endprodukt einer ganzen Reihe von Ideen, die versuchten, den Begriff Volumen mathematisch exakt zu fassen. Erst mit dem Lebesgue-Maß kann dieser Prozess als abgeschlossen gelten. Das Lebesgue-Maß ordnet nicht nur einfachen geometrischen Objekten, sondern auch viel allgemeineren Mengen, einschließlich aller offenen und abgeschlossenen Mengen, einen Inhalt zu. Die Konstruktion nicht Lebesgue-messbarer Mengen ist nur mit dem Auswahlaxiom möglich. (Ein Paradoxon, das auf nicht Lebesgue-messbaren Mengen beruht, ist das Banach-Tarski-Paradoxon).

Das Lebesgue-Maß auf der Borel-σ-Algebra $\mathcal B(\R^n)$ (auch als Lebesgue-Borel-Maß bezeichnet) ist das eindeutige Maß $λ$ mit der Eigenschaft

$\lambda([a_1, b_1]\times...\times[a_n, b_n]) \, = \, (b_1-a_1)\,\cdot\,...\,\cdot\,(b_n-a_n)$ ,

d. h. das Maß, das Intervallen ihre Länge zuordnet (im 1-dimensionalen), Rechtecken ihren Flächeninhalt zuordnet (im 2-dimensionalen), Quadern ihr Volumen zuordnet (im 3-dimensionalen), etc. (Diese Forderung legt den Inhalt $λ(B)$ beliebiger Borel-Mengen $B \in \mathcal B(\R^n)$ eindeutig fest.)

Das Lebesgue-Maß ist das vollständige Maß $λ$ , das man aus diesem Maß erhält, wenn man zu $\mathcal B(\R^n)$ alle Mengen $A$ hinzufügt, die zwischen zwei Borel-Mengen liegen ( $B_1 \subset A \subset B_2$ ), welche denselben Inhalt $λ(B 1) = λ(B 2)$ haben und so $λ(A)$ festlegen. Die Mengen, für die das Lebesgue-Maß auf diese Weise definiert ist, heißen Lebesgue-messbar.

Eine Lebesgue-Nullmenge ist demnach eine Menge, deren Lebesgue-Maß gleich 0 ist. Abzählbare Punktmengen wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen sind immer Lebesgue-Nullmengen. Ein Beispiel für eine überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist das Cantorsche Diskontinuum. Gilt eine mathematische Aussage für ein Gebiet, ausgenommen einer Lebesgue-Nullmenge innerhalb des Gebietes, so spricht man: Die Aussage gilt Lebesgue-fast-überall.

Das Lebesgue-Maß ist das Haar-Maß auf der topologischen Gruppe $\R^n$ .

Konstruktion des Lebesgue-Maßes

Eine mögliche Definition des Lebesgue-Maßes ist die Konstruktion von Carathéodory. Für eine gegebene Menge A definiert man

$\lambda^*(A) := \inf \left\{\sum_{i \geq 1} \operatorname{vol}(A_i): A \subseteq \bigcup_{i \geq 1} A_i, A_i \in \mathcal{D}\right\}$

Hier ist $\mathcal{D}$ die Menge der dyadischen Elementarzellen und $v o l (A i)$ das Volumen von $A i$ . Da dies nur aus Produkten von Intervallen besteht, lässt sich das Volumen einfach als Produkt der einzelnen Seitenlängen berechnen.

$λ *$ ist ein metrisches äußeres Maß und somit auf der Potenzmenge der zugrunde liegenden Menge X definiert. Alle bezüglich $λ *$ messbaren Mengen aus $\mathcal{P}(X)$ bilden eine Sigma-Algebra $\mathcal{A}$ und $λ *$ darauf ein Maß (also $\lambda(A) := \lambda^*(A)\vert_\mathcal{A}$ ).

Eine Menge $A \in \mathcal{P}(X)$ ist Lebesgue-messbar wenn $\forall B \in \mathcal{P}(X)$ gilt:

$\lambda^*(B) = \lambda^*(A\cap B) + \lambda^*(B \setminus A)$

(siehe Messbarkeit nach Carathéodory)

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