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Laurent-Reihe

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Die Laurentreihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurentreihe in x mit Entwicklungspunkt c diese Gestalt:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n

Dabei sind die an und das c meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt "Formale Laurentreihen" beschrieben sind. Für komplexe Laurentreihen benutzt man meist die Variable z statt x.

Summanden, in denen ak = 0 ist, werden meist nicht mitgeschrieben, deshalb muss nicht jede Laurentreihe in beide Richtungen ins Unendliche gehen. (Wie es auch bei Potenzreihen gehandhabt wird, und ähnlich zur Darstellung abbrechender Dezimalbrüche, die eigentlich unendlich viele Nullen hinter den letzten Ziffern haben.)

Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurentreihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil.

Eine Laurentreihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe, hat sie außerdem nur endlich viele Terme mit nichtnegativen Exponenten, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurentreihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom.

Beispiel

Sei K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}, f\colon K\to K, x\mapsto\begin{cases} \exp\left(\frac{-1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}.

Für K=\mathbb{R} ist f unendlich oft differenzierbar, für K=\mathbb{C} ist sie jedoch in x = 0 nicht komplex differenzierbar, sie hat dort sogar eine wesentliche Singularität.

Indem man nun \frac{-1}{x^2} in die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion einsetzt, erhält man die Laurentreihe von f mit Entwicklungspunkt 0:

f(x) = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}

Sie konvergiert für jede komplexe Zahl x außer für x = 0 (wo bereits die Summanden nicht definiert sind).

Das nachfolgende Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge

f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}

an die Funktion annähert (die Kurve für n = \infty ist f selbst).

Bild:Laurentreihe Exp -X-2.png

Konvergenz von Laurentreihen

Laurentreihen sind wichtige Hilfsmittel der Funktionentheorie, vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit Singularitäten.

Laurentreihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem Kreisring holomorph sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einem Kreis holomorph sind.

Sei

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n

eine Laurentreihe in z mit komplexen Koeffizienten an und Entwicklungspunkt c. Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen r und R, so dass folgendes gilt:

  • Die Laurentreihe konvergiert auf dem offenen Kreisring A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \} normal, also insbesondere absolut und lokal gleichmäßig. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge von A, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in A. Die Laurentreihe definiert auf A eine holomorphe Funktion f.
  • Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurentreihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von A, \{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}, die Reihe der Terme mit positiven oder die Terme mit negativen Exponenten divergiert.
  • Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die f nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Es ist möglich, dass r = 0 und R = \infty ist, es kann aber auch sein, dass r = R ist. Die beiden Radien können wie folgt mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}

Man setzt \frac{1}{0}=\infty und \frac{1}{\infty}=0 in der zweiten Formel.

Umgekehrt kann man mit einem Kreisring A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \} und einer auf A holomorphen Funktion f beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurentreihe mit Entwicklungspunkt c, die (mindestens) auf A konvergiert und dort mit f übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt

a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta

für alle n\in\mathbb{Z} und ein \varrho\in(r,R). Wegen des Integralsatzes von Cauchy kommt es auf die Auswahl von \varrho nicht an.

Der Fall r = 0, also der einer holomorphen Funktion f auf einer gelochten Kreisscheibe um c, ist besonders wichtig. Der Koeffizient a − 1 der Laurentreihenentwicklung von f heißt Residuum von f in der isolierten Singularität c, er spielt eine große Rolle im Residuensatz.

Formale Laurentreihen

Formale Laurentreihen sind Laurentreihen in der Unbestimmten X, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. Die Koeffizienten ak können dann aus einem beliebigen kommutativen Ring K stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurentreihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten (also mit einem so genannten endlichen Hauptteil), und die Entwicklungsstelle c auf 0 festzulegen.

Zwei solche formale Laurentreihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurentreihen werden addiert, indem man ihre entsprechenden Koeffizienten addiert, und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch Faltung ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden (man multipliziert sie einfach formal aus, wie man es mit Potenzreihen macht). Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurentreihen über einem kommutativen Ring K zu einem kommutativen Ring, der mit K((X)) bezeichnet wird.

Ist K ein Körper, dann bilden die formalen Potenzreihen in der Unbestimmten X über K einen Integritätsring, der mit K[[X]] bezeichnet wird. Sein Quotientenkörper ist isomorph zum Körper K((X)) der Laurentreihen über K.

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