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Laplace-Operator

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Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace.

Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines

Für den Fall von n kartesischen Koordinatenvektoren ist er definiert als

\Delta=\vec\nabla^2= \sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.

Dabei ist \vec\nabla der Nabla-Operator. Angewendet auf eine skalare Funktion f(x1,...,xn) ist auch die Schreibweise

\Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) = \vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla f\right).

möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. Die Laplace-Operatoren in anderen Koordinatensystemen unterscheiden sich von demjenigen in kartesischen Koordinaten. Zu deren Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird.

Laplace-Operator in 1 Dimension

Wie man unmittelbar erkennt, reduziert sich in einer Dimension der Laplace-Operator einfach auf die zweite Ableitung. So gesehen existiert der Laplace-Operator in einer Dimension nicht. Für eine Funktion f(x) mit einer Variablen läßt sich formal jedoch die folgende Gleichung aufschreiben.

\Delta f(x) = \frac{d^2 f(x)}{dx^2} .

Laplace-Operator in 2 Dimensionen

Für eine Funktion f(x,y) mit zwei Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten

\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}

In Polarkoordinaten ergibt sich mit f(r,φ)

\Delta f(r, \phi ) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

oder

\Delta f(r, \phi ) = \frac{1}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r} \left( r\cdot\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

Laplace-Operator in 3 Dimensionen

Für eine Funktion f(x,y,z) mit drei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten

\Delta f(x,y,z) = \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z^2}

in Zylinderkoordinaten mit f(ρ,φ,z)

\Delta f ( \rho , \phi , z ) = \frac{1}{\rho} \cdot\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\cdot\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

in Kugelkoordinaten mit f ( r , \vartheta , \phi )

\Delta f ( r , \vartheta , \phi ) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \cdot \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \cdot \frac{\partial f}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

Die Greensche Funktion des Laplace Operators hat die Form:

G_{\Delta}(x, x') = -\frac{1}{4\pi\|x-x'\|} + F(x,x') mit ΔF(x,x') = 0.

Es gilt dann: ΔGΔ(x,x') = δ(x − x') mit der Delta-Distribution δ. Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Bemerkungen

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder \vec A angewandt werden. \Delta \vec A wird dann ebenfalls ein Vektorfeld sein. In diesem Fall besteht folgender Zusammenhang :

\Delta\vec A = \operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\,\vec A \right) - \operatorname{rot}\left( \operatorname{rot}\,\vec A \right)

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung

\Delta\varphi = 0

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten, partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.

Im englischsprachigen Raum und folglich auch in der englischsprachigen Literatur wird der Laplace-Operator normalerweise nicht mit dem Symbol Δ bezeichnet. Stattdessen wird die Schreibweise \nabla^2 benutzt.

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:

\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2}- \Delta

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators Δ auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Rotationsmatrix so gilt

\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right)

wobei „\circ “ für die Verkettung von Funktionen steht.

Siehe auch: Gradient, Divergenz und Rotation.

Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung

Hauptartikel: Laplacefilter

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal gn bzw. gnm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter: \vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}
2D-Filter: \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante:

2D-Filter: \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

Laplace-Beltrami-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumens verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der Riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und Riemannsche bzw. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator trägt den Namen Laplace-Beltrami-Operator. Er wird, wie der Laplace-Operator, als Divergenz des Gradientenfeldes definiert. Um den Laplace-Beltrami-Operator herzuleiten werden demnach verallgemeinerte Ausdrücke für die Divergenz und den Gradienten auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit benötigt.

Die Divergenz eines Vektorfeldes X in einer Mannigfaltigkeit kann über die Lie-Ableitung LX entlang des Vektorfeldes X

(\mbox{div} X) \; \mathrm{vol}_n := \mathcal{L}_X \mathrm{vol}_n

definiert werden. Wenn g für den metrischen Tensors einer Mannigfaltigkeit steht, ist das Volumen-Element in lokalen Koordinaten durch:

\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;\mathrm dx^1\wedge \ldots \wedge \mathrm dx^n

gegeben. Dabei ist | g | : = | detgij | der Betrag der Determinante des metrischen Tensors. Die dxi sind die Kovektoren zu den Basisvektoren

\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}

und bilden eine Basis des Dualraums des lokalen Koordinatensystems. \, \wedge ist das Dachprodukt. In lokalen Koordinaten gilt also:

\mbox{div} X = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left(\sqrt {|g|} X^i\right).

In dieser Formel wird die Einsteinsche Summenkonvention benutzt. Das bedeutet, dass über i von 1 bis n summiert wird.

Der Gradient einer skalaren Funktion f kann auf einer Mannigfaltigkeit als inneres Produkt \,\langle\cdot,\cdot\rangle:

\langle \mbox{grad} f(x) , v_x \rangle = \mathrm d f(x)(v_x)

definiert werden. Dies gilt für alle Vektoren \,v_x am Punkt x im Tangentialraum \,T_xM der Mannigfaltigkeit am Punkt x. df ist die äußere Ableitung der Funktion f. Sie ist eine 1-Form mit vx als Argument. Der kontravariante Gradient wird in den lokalen Koordinaten durch:

\left(\mbox{grad} f\right)^i = \partial^i f = g^{ij} \partial_j f

definiert. Die gij sind dabei die Komponenten der Inversen des metrischen Tensors gij. Es gilt also g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k. Dabei ist \delta^i_k das Kronecker-Delta. Diese Definition ist jedoch nur gültig für skalare Funktionen f:M\rightarrow \mathbb{R}.

Der Laplace-Beltrami-Operator schreibt sich als Anwendung auf eine skalare Funktion f insgesamt zu:

\Delta f = \mbox{div grad} \; f = \frac{1}{\sqrt {|g|}} \partial_i \left(\sqrt{|g|} \partial^i f\right).

Unter Benutzung der Produkt- und Kettenregel läßt sich das auch in die folgende Formel umformen:

\Delta f = \partial_i \partial^i f + (\partial^i f) \partial_i \ln \sqrt{|g|} .

Da im dreidimensionalen, euklidischen Raum mit kartesischen Koordianten | g | = 1 gilt, ergibt sich \Delta f = \partial_i \partial^i f was genau dem gewöhnlichen Laplace-Operator entspricht. Wird die Minkowski-Metrik mit Signatur (+,-,-,-) oder (-,+,+,+) benutzt, ergibt sich dagegen der D'Alembert-Operator. Unter einer lokalen, zweidimensionalen Parametrisierung u1,u2 wird der Laplace-Beltrami-Operator mit dem metrischen Tensor und den Christoffel-Symbolen wie folgt berechnet:

\Delta f = g^{ij}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial u^i \partial u^j} - \Gamma_{ij}^k \frac{\partial f}{\partial u^k} \right)

Mit dem metrischen Tensor für Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten kann der Laplace-Beltrami-Operator sehr einfach bestimmt werden, da die Funktionaldeterminante des metrischen Tensors, wie bereits oben erwähnt, gerade dem Volumenelement \,\sqrt{|g|} der zugehörigen Koordinaten entspricht. Somit ist der Laplace-Beltrami-Operator und die Metrik nicht nur in gekrümmten Räumen sondern auch im euklidischen, flachen Raum bei Koordinatentransformationen besonders nützlich. Mit der äußeren Ableitung d und der verallgemeinerten Divergenz lässt sich noch die folgende Identität auf Mannigfaltigkeiten formulieren und beweisen:

\int_M \mathrm df(X) \;\mathrm{vol}_n = - \int_M f \mbox{div} X \;\mathrm{vol}_n .

Für geeignete Funktionen f und h gelten die Formeln:

\int_M f\Delta h \;\mathrm{vol}_n = \int_M \langle \mbox{grad} f, \mbox{grad} h \rangle \;\mathrm{vol}_n = \int_M h\Delta f \;\mathrm{vol}_n

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird als Verallgemeinerung des Laplace-Beltrami-Operators der Laplace-deRham-Operator definiert.

Literatur

  • Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995
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