Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.
Laplace-Gleichung
Aus Kefk.
Die Laplace-Gleichung (nach Pierre-Simon Laplace) ist die homogene Variante der Poisson-Gleichung, d. h. die rechte Seite ist Null. Zu Lösen ist also:
in einem Gebiet Ω unter geeigneten Randbedingungen auf dem Rand 
. Δ ist dabei der Laplace-Operator:
Die Laplace-Gleichung ist dementsprechend eine partielle Differentialgleichung (PDG) zweiter Ordnung und zwar der Prototyp einer elliptischen PDG.
Inhaltsverzeichnis |
Harmonische Funktion
Eine Funktion u(x,y) heißt harmonisch in einem Gebiet Ω, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und die Laplace-Gleichung auf dem Gebiet erfüllt.
Mittelwertprinzip
Gilt 
auf einem Gebiet Ω, so ist der Wert von 
an der Stelle 
gleich dem Mittelwert von auf der Oberfläche jeder Kugel in Ω mit Mittelpunkt x. Dies lässt sich durch Lösen des Dirichlet-Problems der Poisson-Gleichung beweisen.
Maximumsprinzip
Gilt auf einem beschränkten, geschlossenen Gebiet Ω, dann ist das Maximum von auf dem Rand:
Bedeutung in der Physik
Die Laplace-Gleichung beschreibt elektrische Potentiale, wenn die Situation nicht vollständig durch die Ladungsverteilung gegeben ist. Dies ist dann der Fall, wenn neben beliebigen Ladungsverteilungen auch ungeladene, leitende Elemente die Feldverteilung beeinflussen. Mit wird hier durch Lösen der Laplace-Gleichung das elektrostatische Potential berechnet, das durch die Ladungsverteilungen und die verschiedenen leitenden Elemente - zum Beispiel Metallplatten - induziert wird.
 | Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Laplace-Gleichung, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. |
