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Lagrange-Dichte

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Betrachtet man in der theoretischen Physik das Verhalten von Feldern, so geht die Lagrange-Funktion L über in ein Integral über die Lagrange-Dichte \mathcal{L}, welche die Dichte der Lagrange-Funktion in einem Volumenelement beschreibt.

Sie ist definiert als

L=\int \mathrm d^3 r \mathcal{L}=\iiint \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz \, \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)

mit dem betrachteten Feld Φ(x,y,z,t).

Beispiel: Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich die Lagrange-Dichte zu

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\mu \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - E \left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 \right]

wobei E der Youngsche Modul und μ die lineare Massendichte sind. Das Feld Φ = Φ(x,t) beschreibt hier die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage.

Die Bewegungsgleichung für Felder

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern. So, wie man die Lagrange-Gleichungen 2. Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten. Die Bewegungsgleichung ergibt sich zu

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial t}} - \sum_{j=1}^3 \frac{\mathrm d}{\mathrm dx_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j}} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi_i)} = 0

Beispiel:

Für die Lagrange-Dichte der schwingenden Saite gilt damit

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} = \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}} = - E \frac{\partial \phi}{\partial x}

woraus sich die Bewegungsgleichung

E \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0

ergibt.

Die Herleitung der Bewegungsgleichung steht im Artikel: Feldtheorie

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

S=\int \mathrm d^4x\,\mathcal{L}

definiert. Dann ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

\mathcal{L}'(x_\mu)=\mathcal{L}(x'_\mu)=\mathcal{L}(x_\mu) mit x'μ = Λμνxν, wobei Λμν der Lorentz-Transformationstensor ist.
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