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Lagrangefunktion

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Die Lagrange-Funktion (nach Joseph-Louis Lagrange) ist ein zentrales Element zur Beschreibung von physikalischen Systemen im Lagrange-Formalismus der Klassischen Mechanik. Für konservative Systeme und holonome Zwangsbedingungen lautet sie

L = T − V,

wobei T die kinetische- und V die potenzielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen.

Mathematischer Ursprung

Das d'Alembertsche Prinzip kann geschrieben werden als

\sum^s_{k=1}\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial T}{\partial q_k}-Q_k\right]\delta q_k=0,

wobei qk die generalisierten Koordinaten, Qk die generalisierte Kraft, δqk die virtuelle Verrückung der k-ten generalisierten Koordinate und s die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet.

Betrachtet man das d'Alembert'sche Prinzip für holonome Zwangsbedingungen, so kann man verwenden, dass die generalisierten Koordinaten qk unabhängig sind, wodurch die obige Summe in s einzelne Gleichungen zerlegt werden kann.

\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial T}{\partial q_k}-Q_k=0, mit k = 1,...,s

In einem konservativen System gilt

Q = -\nabla V, also für die Komponenten: Q_k=-\frac{\partial V}{\partial q_k}

wodurch die Gleichungen umgeschrieben werden können zu

\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}=0

Da die potenzielle Energie V nicht von den generalisierten Geschwindigkeiten \dot q_k abhängt, kann man auch schreiben

\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}=0,

weil es bei der Ableitung wieder wegfällt. Dies sind nun jedoch gerade die Lagrange-Gleichungen für eine Funktion L = T − V.

Beispiel - Masse gekoppelt mit zwei Federn

Eine Masse m sei über zwei Federn mit Gesamt-Federkonstante f und festen Randbedingungen verbunden (siehe Bild).

Bild:Schwinger.png
Schwingungssystem: x ist die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Grundvoraussetzung zur Beschreibung des Problems im Lagrange-Formalismus ist das Aufstellen der Lagrange-Funktion, indem man die Terme für kinetische und potentielle Energie aufstellt.

T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 und
V = \frac{1}{2}fx^2

Die Lagrange-Funktion lautet daher:

L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}fx^2

Die Lagrange-Funktion wiederum wird zur analytischen Beschreibung des physikalischen Problems in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt, was dann auf Gleichungen führt, die den Bewegungsgleichungen in der Newtonschen Mechanik entsprechen. In unserem Beispiel lautet die generalisierte Koordinate einfach x, die Euler-Lagrange-Gleichung

{\partial{L}\over \partial x} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{x}}}

und daraus dann

\ -f x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right), d.h.
\ddot{x} = -\frac{f}{m} x.

Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist x(t)=c\cdot\cos(\omega t), mit \omega=\sqrt{f/m} und c = const.. t ist die Zeit, ω die Kreisfrequenz und \frac{\omega}{2\pi}die Frequenz des Systems.

siehe auch: Hamilton-Funktion, Lagrange-Dichte, Lagrange-Formalismus

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