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Kurve (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Kurve ein eindimensionales Objekt, das im allgemeinen eine Krümmung besitzt.

Eindimensional bedeutet dabei informell, dass man sich auf der Kurve nur in einer Richtung (bzw. der Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt ("ebene Kurve") oder in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve), ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich.

Je nach Teilgebiet gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.

Inhaltsverzeichnis

Parameterdarstellungen

Hauptartikel: Weg (Mathematik)

Eine Kurve kann definiert werden als das Bild eines Weges. Ein Weg ist eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, also z.B. die euklidische Ebene \R^2.

Bild:Cubic with double point.svg
kubische Kurve mit einem Doppelpunkt. t → (t2 − 1, t · (t2 − 1)) bzw. y2 = x2(x + 1)

Beispiele:

  • Die Abbildung
[0,2\pi]\to\R^2,\quad t\mapsto(\cos t,\sin t)
beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
  • Die Abbildung
\R\to\R^2,\quad t\mapsto\big(t^2-1,t(t^2-1)\big)
beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei (0,0), entsprechend den Parameterwerten t = 1 und t = − 1.

Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden. So ist die interessante Struktur bei der Hilbert-Kurve der Weg; das Bild dieses Weges ist das Einheitsquadrat, besitzt also keinerlei fraktale Struktur mehr.

Gleichungsdarstellungen

Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Beispiele dafür sind:

  • Die Gleichung
x2 + y2 = 1
beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
  • Die Gleichung
y2 = x2(x + 1)
beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Ist die Gleichung wie hier durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

Hauptartikel: Funktionsgraph

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

f\colon D\to\R,\quad x\mapsto f(x)

kann entweder als Parameterdarstellung

D\to\R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))

oder als Gleichung

\{(x,y)\in\R^2\mid y=f(x)\}

angegeben werden.

Kurven als eigenständige Objekte

Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden \R oder zur Einheitskreislinie S1 ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis sind Kurven jedoch eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Spezielle Ausprägungen

In zahlreichen Wissens- und technischen Gebieten werden Kurven durch einzelne Punkte beschrieben, die je nach Anwendungsgebiet genügend dicht vorliegen müssen. Beispiele dafür sind z.B. konstruktive Linien im Machinenbau oder Höhenlinien in den Geowissenschaften bzw. der Kartografie.

Bei geringer Punktdichte oder zu grobem Koordinatenraster können den diskreten Punkten einer Kurve oder Linienstruktur auch bestimmte Eigenschaften (Attribute oder Parameter beigegeben werden, beispielsweise

Weblinks

Von „http://www.kefk.org/wiki/Kurve_%28Mathematik%29“
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