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Kronecker-Delta

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Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise \delta_{ij}\,) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix}\right..

Dabei können i und j Elemente einer beliebigen Menge I sein, eigentlich immer eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

Das Kronecker-Delta kann in der Form

\delta=\mathrm{1}_D:I\times I\to \{0,1\},

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion 1D der Diagonalmenge D=\{(i,j)\in I\times I:\; i=j\}. Häufig wird dabei an Stelle von {0,1} ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Beispiele

  • Mit dem Kronecker-Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren e_1, \dots, e_n als \langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij} schreiben.

Siehe auch

Levi-Civita-Symbol

Wikipedia
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