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Kreuzleistungsspektrum

Aus Kefk.

Das Kreuzleistungsspektrum (präziser: Kreuzleistungsdichtespektrum) baut auf den in der Signalanalyse als Grundlage berechneten Fourierspektren auf. Es berechnet sich analog zum Autoleistungsspektrum nach der Gleichung

$S_{XY} (f) = X^* (f) \cdot Y (f) \,$

Da X*(f) und Y(f) nicht konjugiert komplex zueinander sind, bleibt das Ergebnis komplex.

Werden statt der Fouriertransformierten X(f) und Y(f) die über den Zeitraum T gebildeten Kurzzeitspektren X_T(f) und Y_T(f) verwendet, ergibt sich das Kreuzleistungsspektrum aus dem Erwartungswert der Spektrumsprodukte:

$S_{XY} (f) = E \{ X^*_T (f) \cdot Y_T(f) \} \,$

Zur Weiterverarbeitung wird meist das einseitige Spektrum herangezogen:

$G_{XY} = S_{XY} \,$

für f = 0 und

$G_{XY} (f) = 2 S_{XY} (f) \,$

für f > 0.

Für Interpretationen ist allenfalls der Phasenverlauf des Kreuzleistungsspektrums interessant. Da er jedoch identisch mit dem Phasengang des Frequenzganges ist, wird das Kreuzleistungsspektrum im allgemeinen nur als wichtige Basis für die Berechnung weiterer Signalanalysefunktionen herangezogen. Wiederum in Analogie zum Autoleistungsspektrum kann auch das Kreuzleistungsspektrum als Fouriertransformierte einer Korrelationsfunktion, hier der Kreuzkorrelationsfunktion berechnet werden:

$S_{XY}(f) = \int_{-\infty}^\infty R_{xy}(\tau) e^{-\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \,d\tau \,$