Kreissegment

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Kreissegment (Kreisabschnitt) nennt man in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird. Bild:Circular segment.svg


Größen des Kreissegment:

  • α = Mittelpunktswinkel
  • b = Kreisbogen
  • h = Segmenthöhe
  • r = Radius
  • s = Kreissehne
  • A = Segmentfläche
  • M = Kreismittelpunkt
  • Verbindung A-M-B = Gleichschenkeliges Dreieck


Der Flächeninhalt eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α (hier im Gradmaß) berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, so muss man diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu addieren. (Der Fall, in dem der Mittelpunktswinkel genau 180° beträgt, ist uninteressant, da das Kreissegment dann eine Halbkreisfläche ist.)

Formeln zum Kreissegment
Flächeninhalt A \, = \, \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2 \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\alpha ,

A \, = \frac{r \cdot b}{2} - \frac{s \cdot (r - h)}{2},

A \, = \, \frac {\pi \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + 360 hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{5760 h^2}

A \, = \,r^2\arccos{\left(1-\frac{h}{r}\right)}-\sqrt{2rh-h^2}(r-h)

bzw.

A \, = \,r^2\arcsin{\sqrt{\frac{2rh-h^2}{r^2}}}-\sqrt{2rh-h^2}(r-h)

Radius r = \frac{4 h^2 + s^2}{8 h}
Kreissehne s = 2 r \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right),

s = \frac{2 h}{\tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)} = 2 h \cdot \cot \left(\frac{\alpha}{4}\right)

s=2*\sqrt{r^2-(r-h)^2}

Segmenthöhe h = r - \left(r \cdot \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right),

h = r - \sqrt{ r^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2 },

h = \frac{s}{2} \cdot \tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)

Bogenlänge b = r \cdot \alpha, für α im Bogenmaß

b = r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{180^\circ},

b = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot (4 h^2 + s^2)}{1440 h},

b = \frac{\pi \cdot \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)}{360 h}

Mittelpunktswinkel (Gradmaß) \alpha\ ,

\alpha\ = 4 \cdot \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right)

Kreiszahl \pi \, \dot= \, 3{,}1415926536
Flächenschwerpunkt x_s = \frac{2}{3} \cdot \frac{r \cdot \sin\frac{\alpha}{2}}{ \frac{\alpha}{2} }

ys = 0
Sonderfall Halbkreis:
x_s = \frac{4 r}{3 \pi}


Siehe auch

Kreis (Geometrie), Kreissektor

Weblinks

Wikipedia
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