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Kreis- und Hyperbelfunktionen

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Sowohl die Kreisfunktionen (z. B. Sinus, Kosinus) als auch die Hyperbelfunktionen (Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus) sind mathematische Funktionen, die sowohl für alle reellen als auch komplexen Zahlen definiert sind.

In diesem Artikel werden nur die Sinus- und Kosinus-Funktionen detailliert behandelt. Die Tangens-, Kotangens-, Sekans- und Kosekans-Funktionen sowie ihre analogen Hyperbelfunktionen ähneln diesen in ihren Definitionen und Eigenschaften.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
- 1.1 Definition über die Exponentialfunktion
- 1.2 Definition über Reihenentwicklung
2 Eigenschaften der Funktionen
3 Quellen

Definitionen

Beide Gruppen von Funktionen lassen sich unter anderem durch die Exponentialfunktion oder ihre Taylorreihenentwicklung definieren. Die ähnlichen Namen (z. B. Sinus, Sinus Hyperbolicus) lassen sich durch die ähnlichen Definitionen und Eigenschaften verstehen.

Oft unterscheiden sich die Kreis- und Hyperbelfunktion in Definition oder Eigenschaften nur darin, dass die Funktionsvariable der Kreisfunktion durch das Produkt aus imaginärer Einheit mit der Funktionsvariablen ersetzt wird, oder das positive und negative Vorzeichen vertauscht sind.

Die imaginäre Einheit, abgekürzt i, wird wegen $i 2 : = - 1$ oft auch als "Quadratwurzel aus minus 1" bezeichnet.

Definition über die Exponentialfunktion

Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen. Sie sind daher viel genutzt.

$\sin ( z ) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\sinh ( z ) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}$

$\cos ( z ) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

$\cosh ( z ) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}$

Definition über Reihenentwicklung

Die Taylorreihen unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes. Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert; bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert.

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} \sin ( z ) &= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \sinh ( z ) &= z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos ( z ) &= 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\\ \cosh ( z ) &= 1 + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!} \end{align}

Hier steht der Ausdruck n! für die Fakultät von n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n$ speziell auch

0! = 1

Eigenschaften der Funktionen

Kreis und Hyperbel

Der Name Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Kreisfunktionen einen Kreis $x 2 + y 2 = 1$ und die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel $x 2 - y 2 = 1$ beschreiben. u sei die eingeschlossene Fläche zwischen x-Achse, dem Graphen y(x) und der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph. Für die Kreisfunktionen ist u ebenfalls gleich dem halben Winkel im Bogenmaß zwischen der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph und der x-Achse. Beispielsweise entspricht einem Viertelkreis, also einer Fläche von u=π/4, ein Winkel von π/2. Man erhält somit bei der Umkehrung der Winkelfunktion einen Bogen (Arcus), daher: Arcussinus, Arcuscosinus. Für die Hyperbelfunktionen gilt nur die Definition mit der Fläche. Daher ergibt sich bei der Umkehrfunktion eine Fläche: Areasinus Hyperbolicus, Areacosinus Hyperbolicus.^[1]

Kreisfunktionen:

$\sin^2 (u) + \cos^2 (u) = 1 \quad {\rm mit} \quad y=\sin (u) \quad {\rm und} \quad x=\cos (u)$

$\Longrightarrow \quad {\rm Kreisgleichung} \quad y = \pm \sqrt{1 - x^2}$

Hyperbelfunktionen:

${\rm cosh}^2 (u) - {\rm sinh}^2 (u) = 1 \quad {\rm mit} \quad y=\sinh (u) \quad {\rm und} \quad x=\cosh (u)$

$\Longrightarrow \quad {\rm Hyperbelgleichung} \quad y = \pm \sqrt{x^2-1}$

Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen

Für alle $z \in \mathbb C$ gilt:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{array}{rcr} \sin ( i \cdot z ) & = & i \cdot \sinh ( z ) \\ \sinh ( i \cdot z ) & = & i \cdot \sin ( z ) \\ \cos ( i \cdot z ) & = & \cosh ( z ) \\ \cosh ( i \cdot z ) & = & \cos ( z ) \end{array}

beziehungsweise:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{array}{rcr} \sin ( z ) & = & - i \cdot \sinh ( i \cdot z ) \\ \sinh ( z ) & = & - i \cdot \sin ( i \cdot z ) \\ \cos ( z ) & = & \cosh ( i \cdot z ) \\ \cosh ( z ) & = & \cos ( i \cdot z ) \end{array}

Eine andere Möglichkeit die Kreis- und Hyperbelfunktionen ineinander umzuwandeln bietet die Gudermannfunktion. Der Vorteil ist dabei, dass der Umweg über die Komplexen Zahlen vermieden werden kann.

$\sinh(x)=\tan(\mbox{gd}(x))\$

$\cosh(x)=\sec(\mbox{gd}(x))\$

$\tanh(x)=\sin(\mbox{gd}(x))\$

$\mbox{sech}(x)=\cos(\mbox{gd}(x))\$

$\mbox{csch}(x)=\cot(\mbox{gd}(x))\$

$\coth(x)=\csc(\mbox{gd}(x))\$

Ableitungen

Auch die Ableitungen der Kreis- und Hyperbelfunktionen sind einander ähnlich.

$\begin{matrix} \sin' (z) & = & \cos (z) \\ \sinh'(z) & = & \cosh (z) \\ \cos' (z) & = & -\sin (z) \\ \cosh'(z) & = & \sinh (z) \end{matrix}$

Additionstheoreme (Goniometrische Beziehungen)

Für die Kreis- wie auch für die Hyperbelfunktionen gelten die folgenden Additionstheoreme:^[2]

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\displaystyle): \begin{matrix} \sin(x \pm y) & = & \sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)\\ \cos(x \pm y) & = & \cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)\\ \tan(x \pm y) & = & \displaystyle\frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x) \tan(y)}\\\\ \end{matrix}

$\sinh(x \pm y) = \sinh(x)\cosh(y) \pm \cosh(x)\sinh(y)$

$\cosh(x \pm y) = \cosh(x)\cosh(y) \pm \sinh(x)\sinh(y)$

$\tanh(x \pm y) = \frac{\tanh(x) \pm \tanh(y)}{1 \pm \tanh(x)\tanh(y)}$

$\sin(x) + \sin(y) = 2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos\left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sin(x) - \sin(y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cos(x) + \cos(y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cos(x) - \cos(y) = -2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sinh(x) + \sinh(y) = 2\sinh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cosh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sinh(x) - \sinh(y) = 2\cosh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sinh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cosh(x) + \cosh(y) = 2\cosh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cosh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cosh(x) - \cosh(y) = 2\sinh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sinh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sin(x) \cdot \sin(y) = \frac{1}{2} \Big[\cos(x-y) - \cos(x+y)\Big]$

$\cos(x) \cdot \cos(y) = \frac{1}{2} \Big[\cos(x-y) + \cos(x+y)\Big]$

$\sin(x) \cdot \cos(y) = \frac{1}{2} \Big[\sin(x-y) + \sin(x+y)\Big]$

$\sinh(x) \cdot \sinh(y) = \frac{1}{2} \Big[\cosh(x+y) - \cosh(x-y)\Big]$

$\cosh(x) \cdot \cosh(y) = \frac{1}{2} \Big[\cosh(x+y) + \cosh(x-y)\Big]$

$\sinh(x) \cdot \cosh(y) = \frac{1}{2} \Big[\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\Big]$

Für weitere Beziehungen siehe auch die Formelsammlung Trigonometrie.

Quellen

↑ dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 4. Auflage 1980. ISBN 3-423-03007-0. S 185.
↑ Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 Kapitel 4.3 und 4.5

Bild:F of x.svg

Transzendente Funktionen

Exponentialfunktion | Logarithmus
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus