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Kramers-Kronig-Beziehungen

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Die Kramers-Kronig-Beziehungen (nach Hendrik Anthony Kramers und Ralph Kronig) setzen Real- und Imaginärteil bestimmter meromorpher Funktionen in Form einer Integralgleichung miteinander in Beziehung. Sie stellen einen Spezialfall der Hilbert-Transformation dar.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Formulierung

Sei F : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} eine meromorphe Funktion, deren Polstellen in der unteren Halbebene liegen. Ferner sei \mathrm{Re}\, F|_\mathbb{R} eine gerade, \mathrm{Im}\, F|_\mathbb{R} eine ungerade Funktion und \lim_{|z| \rightarrow \infty} |F(z)| = 0. Dann gelten für x \in \mathbb{R} die folgenden, als Kramers-Kronig-Beziehungen bezeichnete Gleichungen:

\mathrm{Im}\, F(x) = -\frac{2}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int_{0}^{+\infty} \frac{x\cdot\mathrm{Re}\,F(t)}{t^2-x^2}\mathrm{d}t
\mathrm{Re}\, F(x) = \frac{2}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int_{0}^{+\infty} \frac{t\cdot\mathrm{Im}\,F(t)}{t^2-x^2}\mathrm{d}t

CH bezeichnet den Cauchyschen Hauptwert des auftretenden Integrals.

Motivation

Es sei eine stetige Funktion f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} vorgegeben. Dazu soll eine in der oberen Halbebene holomorphe Funktion F: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C} so konstruiert werden, dass \mathrm{Re}\, F|_\mathbb{R} = f gilt; im Grunde soll also ein Randwertproblem gelöst werden, wobei die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen erfüllt werden müssen und eine stetige Funktion f auf dem Rand \mathbb{R} vorgegeben ist.

Eine holomorphe Funktion kann nach dem Residuensatz dargestellt werden als:

F(z) = \frac{1}{2 \pi i} \left( \int_{HK_r} \frac{F(t)}{t - z} \mathrm{d}t + \int_{-r}^r \frac{F(t)}{t - z} \mathrm{d}t \right),

wobei HKr den (positiv orientierten) Halbkreis in der oberen Halbebene mit Zentrum 0 und Radius r > 0 bezeichnet. Fällt nun F im Unendlichen schnell genug ab, so reduziert sich im Grenzübergang r \rightarrow \infty die Darstellung zu einem Integral über der reellen Achse, also:

F(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(t)}{t-z} \mathrm{d}t

Im Falle \mathrm{Im}\, z \rightarrow 0 und unter der zusätzliche Voraussetzung, dass f eine gerade Funktion ist, ergibt sich schließlich

Im \, F(z) = - \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{Re}\,F(t)}{t-z} \mathrm{d}t = - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{z \cdot \mathrm{Re}\,F(t)}{t^2-z^2} \mathrm{d}t,

wobei das auftretende Integral als Cauchyscher Hauptwert zu interpretieren ist und mit der Hilbert-Transformation von f übereinstimmt. Diese Gleichung entspricht der einen Kramers-Kronig-Beziehung.

Anwendungen

Die Kramers-Kronig-Beziehungen finden dort Anwendung, wo eine reelle reellwertige gerade Funktion zu einer holomorphen Funktion ergänzt werden soll, was meistens der Vereinfachung der auftretenden Rechnungen dient, insbesondere bei Wellenfunktionen, also hauptsächlich in der Signalverarbeitung und in der Optik. Physikalisch wird dieses Instrument verwendet in Form einer Dispersions-Relation, die die elektromagnetische Absorption mit der Dispersion und damit mit der Brechzahl in Beziehung bringt.

Dadurch lässt sich die Kreisfrequenz-abhängige Absorption als eine Funktion der Kreisfrequenz-abhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ε(ω) ausdrücken:

\operatorname{Re}(\varepsilon(\omega))=1+\frac{2}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int \limits_{0}^{\infty} {{\Omega \cdot \operatorname{Im}(\varepsilon(\Omega))} \over {\Omega^2-\omega^2}} \,\mathrm{d}\Omega

Eine alternative Betrachtungsweise ergibt sich mit dem Absorptionskoeffizienten α, der Brechzahl n und der Lichtgeschwindigkeit c:

n(\omega)=1+\frac{c}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int \limits_{0}^{\infty} {{\alpha(\Omega)} \over {\Omega^2-\omega^2}} \,\mathrm{d}\Omega

Dadurch lässt sich vor allem in der nichtlinearen Optik aus einer einfachen Absorptionsmessung die komplexe Form der Brechzahl ableiten.

Literatur

  • Mansoor Sheik-Bahae: Nonlinear Optics Basics. Kramers-Kronig Relations in Nonlinear Optics, in: Robert D. Guenther (Hrsg.): Encyclopedia of Modern Optics, Academic Press, Amsterdam 2005, ISBN 0-12-227600-0
Von „http://www.kefk.org/wiki/Kramers-Kronig-Beziehungen“
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