Krümmungskreis

Aus Kefk

Wechseln zu: Navigation, Suche
Bild:Osculating circle.svg
Krümmungskreis einer Kurve C im Punkt P
Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkt P = \left( x_0 | y_0 \right) einer ebenen Kurve C ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Kehrwert der Krümmung der Kurve in \left( x_0 | y_0 \right). Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve örtlich variiert, schmiegt sich die Kurve nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung an den Krümmungskreis an.

Hinweis: Die Beispielzeichnungen legen nahe, dass der Krümmungskreis stets auf einer Seite der Kurve liegt. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Krümmung der Kurve an dem entsprechenden Punkt ein Extremum hat. Da die Krümmung des Krümmungskreises selbst konstant ist, verläuft eine Kurve mit sich ändernder Krümmung in der Regel auf einer Seite des Berührpunktes innerhalb, auf der anderen außerhalb ihres Krümmungskreises.

Inhaltsverzeichnis

Bestimmung des Krümmungsradius

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zu streben:

Bild:Krümmungkreis-Näherung.png t1, t2,... sind die Tangenten, n1, n2,... sind die Normalen in den Punkten P1, P2,... Die Punkte P1, P2,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K1, K2,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung \vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}\, gegeben, so ist sein Radius

(1) \mathbf{r} = \frac{\big( x_1'(t)^2+x_2'(t)^2 \big)^{\frac{3}{2}}}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)},

Der Mittelpunkt \left( u | v \right)des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

(2) \mathbf{u} = x_1 - \frac{x_2'(t)\big(x_1'(t)^2+x_2'(t)^2\big)}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)} und

(3) \mathbf{v} = x_2 + \frac{x_1'(t)\big(x_1'(t)^2+x_2'(t)^2\big)}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)}.

Krümmungsradius einer Funktion

Auch für Funktionen f(x) lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Mit der Transformation x \rightarrow t und f(x) \rightarrow f(t) wird die Funktion f(x) in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} t \\ f(t) \end{pmatrix}\,

Die Ableitungen lauten:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} t = 1; \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} t = 0
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t) = f'(t); \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}f= f''(t)

Damit gilt für den Krümmungsradius einer Funktion an der Stelle \Big(x_0 | f(x_0) \Big) nach Einsetzen in (1):

(4) \mathbf{r}(x_0) = \frac{\big(1+f'(x_0)^2 \big)^{\frac{3}{2}}}{f''(x_0)}

Beispiel Kreis

Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}\,

Die Ableitungen betragen:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \cos(t) = -\sin(t); \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} \cos(t) = -\cos(t)
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \sin(t) = \cos(t); \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} \sin(t) = -\sin(t)

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

Beispiel Parabel

Bild:Krümmungskreis-Parabel.png
Der Krümmungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunt hat den Radius 0,5

Für die Normalparabel f(x) = x2 gilt:

f '(x)=2\cdot x
f''(x) = 2

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

r(x)=\frac{ \left(1+4\cdot x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{2}

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x3, die Kurve wird immer gerader.

Siehe auch

  • Klotoide, Krümmungsradius ist proportional zur Kurvenlänge
  • Schlangenlinie, alternierendes Krümmungsverhalten
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Kr%C3%BCmmungskreis, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
Von „http://kefk.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis“
Persönliche Werkzeuge
Andere Sprachen