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Kovarianzmatrix

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Als Kovarianzmatrix bezeichnet man in der Statistik die Matrix aller paarweisen Kovarianzen eines Zufallsvektors. Ist X=(X_1,\ldots,X_n) ein Zufallsvektor, so ist die zugehörige Kovarianzmatrix \operatorname{Cov}(X) gegeben durch

\operatorname{Cov}(X) = (\operatorname{Cov}(X_i, X_j))_{i,j=1,\ldots,n}\in\R^{n,n}.

Dabei bezeichnet \operatorname{Cov}(X_i, X_j) die Kovarianz der reellen Zufallsvariablen Xi und Xj. Gelegentlich wird die Kovarianzmatrix von X auch durch ΣX bezeichnet.

Eigenschaften

  • Die Kovarianzmatrix enthält auf der Hauptdiagonalen die Varianzen der einzelnen Zufallsvariablen. Somit sind alle Elemente auf der Hauptdiagonalen nicht-negativ.
  • Eine reelle Kovarianzmatrix ist immer symmetrisch, da die Kovarianz zweier Zufallsvariablen symmetrisch ist.
  • Die Kovarianzmatrix ist stets positiv semidefinit: Wegen der Symmetrie ist jede Kovarianzmatrix mittels Hauptachsentransformation diagonalisierbar, wobei die Diagonalmatrix wieder eine Kovarianzmatrix ist. Da auf der Diagonale nur Varianzen stehen, ist die Diagonalmatrix folglich positiv semidefinit und somit auch die ursprüngliche Kovarianzmatrix.
  • Aufgrund der Diagonalisierbarkeit, wobei die Eigenwerte (auf der Diagonale) wegen der positiven Semidefinitheit nicht-negativ sind, können Kovarianzmatrizen als Ellipsoide dargestellt werden.
  • Für alle Matrizen A\in\R^{n\times n} gilt \operatorname{Cov}(AX) = A\,\operatorname{Cov}(X)A^T.
  • Für alle Vektoren b\in\R^n gilt \operatorname{Cov}(X+b) = \operatorname{Cov}(X).
  • Sind X und Y unabhängige Zufallsvektoren, dann gilt \operatorname{Cov}(X+Y) = \operatorname{Cov}(X)+\operatorname{Cov}(Y).

Beispiel

Sind X,Y,Z Zufallsvariablen, dann ist die Kovarianzmatrix P des Zufallsvektors (X,Y,Z) gegeben durch

\begin{pmatrix} \operatorname{Cov}(X,X) & \operatorname{Cov}(X,Y) & \operatorname{Cov}(X,Z) \\ \operatorname{Cov}(Y,X) & \operatorname{Cov}(Y,Y) & \operatorname{Cov}(Y,Z) \\ \operatorname{Cov}(Z,X) & \operatorname{Cov}(Z,Y) & \operatorname{Cov}(Z,Z) \end{pmatrix}

Siehe auch

Wikipedia
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