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Konvergenzbeschleunigung

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Als Konvergenzbeschleunigung bezeichnet man die Ersetzung einer Folge durch eine andere, die schneller gegen denselben Grenzwert konvergiert. Diese Verfahren werden oft zur Berechnung von Werten von Reihen eingesetzt.

Eine Folge

T=\{t_n\}_{n\in \mathbb{N}_0}

mit dem Grenzwert s konvergiert schneller als eine andere Folge

S=\{s_n\}_{n\in \mathbb{N}_0}

mit demselben Grenzwert, falls der Grenzwert

\lim_{n \to\infty} \frac{\|t_{n}-s\|} {\|s_{n}-s\|} = 0

existiert und gleich Null ist. Erhält man T aus einer konvergenten Folge S durch eine Folgentransformation der Gestalt

T = F(S),

so spricht man von Konvergenzbeschleunigung.

Beispiel

Die Folge n\mapsto\sum_{k=1}^n\frac1{k^2} konvergiert mit einem Fehler proportional zu \frac1n gegen \frac{\pi^2}6. Die Glieder in der Summe können für k>1 durch

\frac1{k(k+1)}<\frac1{k^2}<\frac1{(k+1)(k-1)}

abgeschätzt werden. Die Reihen zu den Abschätzungen links und rechts sind Teleskopreihen,

\frac32-\frac1{n+1}\le 1+\sum_{k=2}^n\frac1{n^2}\le \frac74-\frac{n+\frac12}{n(n+1)}.

Die Differenz der letzten beiden Terme beträgt

\sum_{k=2}^n\frac1{k^2-1}-\sum_{k=2}^n\frac1{k^2}=\sum_{k=2}^n\frac1{k^2(k^2-1)}

Somit gilt auch

\frac{\pi^2}6=\frac74-\sum_{k=2}^\infty \frac1{k^2(k^2-1)}.

Die n-ten Partialsummen der darin auftretenden Reihe konvergieren mit Fehler proportional zu n − 3, also wesentlich schneller.

Dieses Verfahren kann beliebig fortgesetzt werden, so kann die Differenz der letzten Reihe zur Teleskopreihe \sum_{k=2}^n\infty \frac1{(k-1)k(k+1)(k+2)} betrachtet werden.

Siehe auch

Wikipedia
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