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Kontinuum

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Ein Kontinuum (lat. continuum: "Das Zusammenhängende", Plural Kontinua) ist ein Objekt welches keine Risse, Brüche, Löcher, Hohlräume oder ähnliches innerhalb seiner Grenzen besitzt, sich also überall kontinuierlich fortsetzt.

Der Begriff ist also eine örtliche – keine zeitliche – Aussage, obwohl Kontinua gewöhnlich auch längeren zeitlichen Bestand haben.

Inhaltsverzeichnis

Physik

Physikalisch bedeutet der Begriff Kontinuum, dass die physikalischen Größen innerhalb des Kontinuums keine Nullstellen haben.

Dieser Begriff gilt immer nur innerhalb eines bestimmten Modells. Ein Kontinuum kann bei höherer „Auflösung“ in der Betrachtung dann doch aus einzelnen getrennten Elementen bestehen.

In Teilgebieten der Physik bzw. bestimmten Modellen werden viele Stoffe als Kontinua angesehen, beispielsweise Wasser oder Luft. Aus diesem Modell lassen sich viele bewährte Gesetze ableiten. Die Grenzen dieses Modells liegen bei extremen Parametern, z. B. bei sehr kleinen Abmessungen. Luft besteht dann aus Molekülen mit leerem Raum dazwischen.

Ein stoffliches Kontinuum kann durch eine plötzliche lokale – zu hohe - Krafteinwirkung zerrissen (bekommt ein Loch/Hohlraum) werden. Bei Wasser nennt man es Kavitation. Die einzigen „unzerstörbaren“ Kontinua scheinen die Zeit und der Raum zu sein. Ob ein Schwarzes Loch ein Loch im Raum-Zeit-Kontinuum erzeugt, ist noch nicht erwiesen. Sicher ist nur, dass dort die höchsten beobachtbaren Kräfte auftreten. Ob aber Raum und Zeit auf derartig hohe „Kräfte“ überhaupt reagieren ist strittig, obwohl nach Einstein sich beide in starken Feldern zumindest verändern, sich also "verbiegen" lassen. Ob sie aber auch ein „Loch“ bekommen können, also an einer „Stelle“ tatsächlich ganz verschwinden, ist strittig.

Mathematik

In der Mathematik nennt man jede Menge, welche die Mächtigkeit der reellen Zahlen hat, „das Kontinuum“.

Man kann (etwa mit den ZF-Axiomen, sogar ohne das Auswahlaxiom) zeigen, dass die folgenden Mengen alle gleichmächtig sind:

  1. \mathbb R, die Menge aller reellen Zahlen
  2. \mathbb C, die Menge aller komplexen Zahlen
  3. [0,1], die Menge aller reellen Zahlen die zwischen 0 und 1 liegen
  4. \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, die Menge aller Irrationalzahlen
  5. {\mathcal P}({\mathbb N}), die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen, also die Potenzmenge von \mathbb N
  6. \left\{0,1\right\}^{\mathbb N}, die Menge aller Funktionen mit Definitionsbereich \mathbb N und Zielbereich {0,1}
  7. \mathbb N^{\mathbb N}, die Menge aller Folgen von natürlichen Zahlen
  8. \mathbb R^{\mathbb N}, die Menge aller Folgen von reellen Zahlen.

Die Mächtigkeit dieser Menge (oder ihre Kardinalzahl) wird üblicherweise \mathfrak c (Fraktur c, für continuum) oder \aleph (Aleph, der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets) genannt. Da es sich um die Potenzmenge von \mathbb N handelt und deren Mächtigkeit \aleph_0 heißt, schreibt man dafür auch 2^{\aleph_0}.

Es hat sich gezeigt, dass sehr viele weitere Strukturen, die in der Mathematik untersucht werden, dieselbe Mächtigkeit haben.

In der Analysis handelt es sich dabei in aller Regel um Mengen reeller Zahlen, welche entweder höchstens abzählbar sind oder die eine Cantor-Menge enthalten; die letzteren haben nach ihrer Definition die Mächtigkeit \mathfrak c.

Die vielleicht naheliegende Vermutung, dass tatsächlich alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen eine Cantor-Menge enthalten, kann man widerlegen (allerdings nur mit Hilfe des Auswahlaxioms; ein Gegenbeispiel ist ohne eine Wohlordnung der reellen Zahlen nicht explizit konstruierbar).

Die etwas schwächere Vermutung, dass alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen zumindest gleichmächtig mit den reellen Zahlen sind, heißt Kontinuumshypothese. Sie ist (mit den üblichen Axiomen) weder widerlegbar noch beweisbar.

Soziologie

In der Soziologie stellt ein Kontinuum eine Messreihe dar, in der die Werte (zum Beispiel Meinungen und Einstellungen) nicht genau voneinander abgrenzbar sind, sondern ineinander übergehen. So können bestimmte Meinungen zu politischen Fragen oft nicht eindeutig mit "rechts" oder "links" abgegrenzt werden.

Siehe auch: Theorie der sozialen Identität

Sprachwissenschaft

Siehe Dialektkontinuum.

Pädagogik / Ethnologie

In der Erziehungswissenschaft hat das "Continuum-Concept" nach Jean Liedloff, die sich auf Traditionen indigener Völker bezieht, durch das Propagieren von engem Körperkontakt und ständiges Tragen der Kleinkinder ein Vertrauens-Kontinuum zu schaffen, Impulse gesetzt.

Siehe das "Continuum-Concept" nach Liedloff

Musik

Der österreichische Musiker Josef Matthias Hauer fand für die "in Harmonie gebrachte Zwölftonreihe" den Begriff "Kontinuum". Andere Ausdrücke dafür sind "Klangband" oder (bei Othmar Steinbauer:) "Klangreihe".


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