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Konjugation (Gruppentheorie)

Aus Kefk.

Die Konjugationsoperation ist in der Gruppentheorie eine Operation einer Gruppe auf sich selbst. Sie ist folgendermaßen definiert

$G \times G \rightarrow G \qquad (g,h) \mapsto ghg^{-1}$

Dabei bezeichnet man die einzelne Abbildung

$\operatorname{int}_g: h \mapsto ghg^{-1}$

als Konjugation mit g. Diese Abbildung ist ein innerer Automorphismus, das heißt jedem Element $h$ wird eineindeutig ein Element $g h g - 1$ zugeordnet.

Zwei Elemente $h 1$ und $h 2$ einer Gruppe heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element $g$ gibt, sodass $h 1 = g h 2 g - 1$ ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

Jedes Element $h$ ist konjungiert zu sich selbst (Reflexivität).
Ist $h 1$ konjungiert zu $h 2$ , so ist auch $h 2$ konjungiert zu $h 1$ (Symmetrie).
Ist $h 1$ konjungiert zu $h 2$ und $h 2$ konjungiert zu $h 3$ , dann ist auch $h 1$ konjungiert zu $h 3$ (Transitivität).

Alle Elemente die zueinander konjungiert sind bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von $h$ :

$G \cdot h = \{ghg^{-1} | g \in G\}$

Dabei kann als $h$ ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden.

Die Abbildung T mit $T(g) = \operatorname{int}_g$ bildet G in die Automorphismengruppe Aut(G) ab. Die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).

Der Kern von T ist das Zentrum $Z (G)$ von $G$ :

$Z(G) = \{ g \in G | gh = hg \mathrm{\ f\ddot{u}r\ alle\ } h \in G\}$

Die Abbildung T vermittelt also einen Isomorphismus von G/Z(G) nach Inn(G).

Die Fixgruppe

$Z_G(x) = \{ g\in G \mid gx=xg \}$

eines Elementes $x$ ist der Zentralisator von $x$ , die Bahn ist gerade die Konjugationsklasse von $x$ .

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