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Komplement (Mengenlehre)

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Das Komplement ist ein Begriff aus der Mengenlehre der Mathematik. Für eine Teilmenge A einer Menge U besteht das Komplement von A in U genau aus den Elementen von U, die nicht in A liegen, geschrieben U\setminus A.

Wenn die Obermenge U feststeht, wird das „Komplement von A in U“ auch kurz als das „Komplement von A“ bezeichnet. Als Schreibweisen ist dafür Ac üblich, wobei das c für englisch complement steht. Die ebenfalls gebräuchliche Notation \bar{A} führt zu Komplikationen in der Topologie, wo die abgeschlossene Hülle ebenfalls durch Überstreichen gekennzeichnet wird.

Formale Definition

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Das Komplement von A in U

Es sei A eine Teilmenge von U, also A \subseteq U. Das Komplement von A in U ist die Menge

\{x\in U\mid x\notin A\}.

Sie ist die eindeutig bestimmte Teilmenge A^{{\rm c}}\subseteq U, die die beiden Bedingungen

A \cap A^{{\rm c}}=\varnothing  und   A \cup A^{{\rm c}}=U

gleichzeitig erfüllt.

Rechenregeln

Seien im folgenden A und B Teilmengen einer gemeinsamen Obermenge.

Es gelten die De Morganschen Regeln:

(A\cup B)^{{\rm c}} = A^{{\rm c}}\cap B^{{\rm c}},
(A\cap B)^{{\rm c}} = A^{{\rm c}}\cup B^{{\rm c}}.

Das Komplement ist weiterhin eine Involution, es gilt also:

(A^{{\rm c}})^{{\rm c}} = A \ .
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