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Komplementärbasis

Aus Kefk.

Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen Komplements.

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und $U$ ein Untervektorraum von $V$ . Dann heißt eine Folge $(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n)$ von Vektoren aus $V$ Komplementärbasis von $U$ in $V$ , falls sie lineare unabhängig ist und $V=U\oplus W$ gilt ( $V$ ist also die direkte Summe von $U$ und $W$ ), dabei sei W der durch $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ erzeugte Unterraum.

W ist also ein komplementärer Unterraum von $U$ und die Vektoren $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ bilden dazu eine Basis.

Alternative Formulierung

Seien $a_1, \ldots, a_n$ Skalare aus $K$ . Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

Erstens lässt sich jedes Element $u \in U$ aus der Linearkombination

$a_1 \cdot \mathbf{v}_1 + \ ... \ + a_n \cdot \mathbf{v}_n = u$

nur darstellen, wenn alle Koeffizienten $a i = 0$ (für $i = 1... n$ ) sind

und zweitens erzeugen die Vektoren $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ zusammen mit $U$ den Vektorraum $V$ .

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ auch linear unabhängig modulo $U$ )

Eigenschaften

Sei $(u_1,\ldots,u_s)$ eine Basis von $U$ . Genau dann ist $(v_1,\ldots,v_t)$ eine Komplementärbasis von $U$ in $V$ , wenn $(u_1,\ldots,u_s,v_1,\ldots,v_t)$ eine Basis von $V$ ist.