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Kollineare Abbildung

Aus Kefk.

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Eine Kollineare Abbildung (oder: Projektive Abbildung, Projektive Transformation) ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet. Dabei werden Quadrate auf allgemeine Vierecke abgebildet.

Spezialfälle der kollinearen Abbildung sind die affinen Abbildungen. Eine Kollineation einer affinen Inzidenzebene ist eine bijektive Abbildung, bei der Punkte auf Punkte und Geraden auf Geraden (usw.) bei Inzidenzerhalt abgebildet werden und bei der die Parallelität von Geraden (usw.) invariant ist, d.h. erhalten bleibt. Quadrate werden also auf Parallelogramme abgebildet.

Ein weiterer Spezialfall ist die geometrische Bewegung bei der Quadrate auf Quadrate abgebildet werden.

Eine kollineare Abbildung kann unter Verwendung homogener Koordinaten als Matrix-Vektor-Produkt geschrieben werden.

$q = A \cdot p$

oder in den einzelnen Koordinaten:

$\begin{pmatrix} q_{0} \\ q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \end{pmatrix}$

dabei sind p und q Elemente eines projektiven Raumes und p0,p1,p2 oder q0,q1,q2 die homogenen Koordinaten (oder projektive Koordinaten) eines Punktes in der Ebene. Die zugehörigen kartesischen Koordinaten sind über

$\begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} p_1/p_0 \\ p_2/p_0 \\ \end{pmatrix}\quad\quad \mathrm{und}\quad\quad \begin{pmatrix} q_x \\ q_y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} q_1/q_0 \\ q_2/q_0 \\ \end{pmatrix}$