Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Kohärente Garbe

Inhaltsverzeichnis

Es sei $X$ ein geringter Raum, d.h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe $\mathcal O_X$ von Ringen. Dann heißt eine $\mathcal O_X$ -Modulgarbe $\mathcal M$ kohärent, wenn

$\mathcal M$ endlich erzeugt ist, d.h. es gibt eine Surjektion $\mathcal O_X^n\to\mathcal M$ , und
für jede derartige Surjektion ist der Kern endlich erzeugt, d.h. jede Surjektion $\mathcal O_X^n\to\mathcal M$ lässt sich in eine exakte Folge

$\mathcal O_X^m\to\mathcal O_X^n\to\mathcal M\to 0$

einbetten.

Die kohärenten Garben bilden eine abelsche Kategorie, die stabil unter Erweiterungen ist. Das bedeutet insbesondere: Ist

$0\to\mathcal M'\to\mathcal M\to\mathcal M''\to0$

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.

Der Träger einer kohärenter Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Ist $X$ ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere $A$ ein noetherscher Ring und $X$ ein eigentliches $A$ -Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als $A$ -Moduln endlich erzeugt.

Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass $\mathcal O_X$ selbst kohärent ist, nicht trivial.
Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2