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Kirchhoffsche Regeln

Aus Kefk.

(Weitergeleitet von Knotenregel)

Die zwei kirchhoffschen Regeln wurden 1845 von Gustav Robert Kirchhoff entdeckt. Sie beschreiben jeweils den Zusammenhang zwischen mehreren elektrischen Strömen und zwischen mehreren elektrischen Spannungen in elektrischen Netzwerken.

Inhaltsverzeichnis

1 Der Knotenpunktsatz − 1. kirchhoffsches Gesetz
- 1.1 Beispiel eines Knotens
- 1.2 Beispiel eines Netzwerkknotens
2 Der Maschensatz − 2. kirchhoffsches Gesetz
3 Anwendungsbeispiel Zweigstromanalyse
4 Hintergrund
5 Siehe auch
6 Weblinks

Der Knotenpunktsatz − 1. kirchhoffsches Gesetz

Die Summe der zufließenden Ströme in einem elektrischen Knotenpunkt ist gleich der Summe der abfließenden Ströme. Versieht man zufließende Ströme mit anderem Vorzeichen als abfließende Ströme, lässt sich allgemein sagen:

Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist null.

In Netzwerken mit reinen Gleichströmen kann vereinfachend für einen Knoten mit $n$ Strömen gesagt werden:

$\sum_{k=1}^n I_k = 0$ .

In Wechselstromnetzwerken muss die Summe der komplexen Effektivwerte oder Amplituden des Stroms betrachtet werden:

$\sum_{k=1}^n \underline{I}_k = 0$ .

Ein Netzwerk mit n Knoten hat (n-1) linear unabhängige Knotengleichungen. Die Knotenregel gilt nicht nur für einzelne Knoten, sondern auch für ganze Schaltungen. Allerdings wird davon ausgegangen, dass der Knoten elektrisch neutral bleibt. Möchte man z.B. nur eine Kondensatorplatte betrachten (und nicht den ganzen Kondensator), ist dies nicht mehr erfüllt und man muss das 4. maxwellsche Gesetz benutzen:

$\iint_A\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset\!\supset \left(\vec J + \frac{\partial \vec D}{\partial t}\right) \cdot\mathrm{d}\vec A = 0$ .

Beispiel eines Knotens

Stromknoten mit zu- und abfließenden Strömen

Wie auf dem Bild zu erkennen ist, fließen die Ströme $I 1$ und $I 3$ in den Knoten hinein und die Ströme $I 2$ , $I 4$ und $I 5$ aus dem Knoten heraus. Nach der Knotenregel ergibt sich folgende Formel:

$\, I_1 - I_2 + I_3 - I_4 - I_5 = 0$

oder umgeformt

$\, I_1 + I_3 = I_2 + I_4 + I_5$ .

Beispiel eines Netzwerkknotens

Netzwerk mit zu- und abfließenden Strömen

Auch ganze Netzwerke können als Knoten angesehen werden. Im Beispiel fließen die Wechselströme $I 1$ und $I 2$ in den Knoten hinein und der Strom $I 3$ aus dem Knoten heraus.

Es gilt also:

$\underline{I}_1 + \underline{I}_2 - \underline{I}_3 = 0$ .

Sind für die zufließenden Ströme folgende komplexe Effektivwerte gegeben:

$\underline{I}_1 = 3A \cdot e^{j\cdot15^\circ}$

$\underline{I}_2 = 1A \cdot e^{-j\cdot35^\circ}$ .

So ergibt sich für den abfließenden Strom aus der Knotenregel:

$\underline{I}_3 = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 = 3A \cdot e^{j\cdot15^\circ} + 1A \cdot e^{-j\cdot35^\circ}\approx3{,}73A\cdot e^{j\cdot3{,}12^\circ}$ .

Der Maschensatz − 2. kirchhoffsches Gesetz

Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu Null. In einem Umlauf mit n Teilspannungen eines elektrischen Gleichstromnetzes gilt folgende Formel:

$\sum_{k=1}^n U_k = 0$ .

In Wechselstromnetzwerken muss die Summe der komplexen Effektivwerte oder komplexen Amplituden der Spannung betrachtet werden:

$\sum_{k=1}^n \underline{U}_k = 0$ .

Ein Netzwerk mit n unabhängigen Knotengleichungen hat n+1 unabhängige Maschengleichungen. Die Maschenregel ist ein Spezialfall des 3. maxwellschen Gesetzes und darf nur bei Abwesenheit zeitlich ändernder Magnetfelder angewandt werden.

Anwendungsbeispiel Zweigstromanalyse

Knotengleichung (oberer Knoten): I₁ + I₂ - I₃ = 0
Maschengleichung I: U₁ - I₁R₁ + I₂R₂ - U₂ = 0
Maschengleichung II: U₂ - I₂R₂ - U₃ + I₃R₃ = 0

Dieses Gleichungssystem lässt sich nach den drei unbekannten Strömen ordnen :

I₁ + I₂ - I₃ = 0

I₁R₁ - I₂R₂ = U₁ - U₂

I₂R₂ - I₃R₃ = U₂ - U₃

In Matrixschreibweise lautet das Gleichungssystem:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ R_1 & -R_2 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ U_1-U_2 \\ U_2-U_3 \end{pmatrix}$

Zur Lösung des linearern Gleichungssystems (Lineare Algebra) gibt es Standardmethoden die zur Anwendung kommen. Kleinere Gleichungssysteme lassen sich analytisch „von Hand“ lösen, für umfangreichere Schaltkreise werden numerische Methoden (Computerprogramme) verwendet.

Hintergrund

Beide kirchhoffschen Regeln drücken physikalische Erhaltungssätze aus: Der ersten Regel liegt zugrunde, dass die elektrische Ladung erhalten bleibt; die zweite beruht auf der Erhaltung der Energie, welche im Stromkreis auf der Bewegung der Ladungsträger durch ein Spannungsgefälle gegeben ist.

Bei der Anwendung der kirchhoffschen Gleichungen ist zu beachten, dass davon ausgegangen wird, dass alle Verbindungen zwischen den einzelnen Stromkreiselementen ideal leitend sind. Außerdem muss beachtet werden, dass die Stromkreiselemente als konzentrierte Elemente angesehen werden. Konzentrierte Stromkreiselemente sind Elemente deren elektrisches Verhalten sich vollständig durch die an den Anschlüssen fließenden Ströme und anliegenden Spannungen beschreiben lassen. Sollten in der zu untersuchenden Schaltung nicht konzentrierte Elemente vorkommen, so müssen diese durch Ersatzschaltungen konzentrierter Stromkreiselemente ersetzt werden.

Siehe auch

Weblinks

http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph10/grundwissen/06_kirchhoff/kirchhoff.htm

Von „http://www.kefk.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln#Die_Knotenregel“

Kategorie: Theoretische Elektrotechnik

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Beispiel eines Knotens

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