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Karo (Mengenlehre)

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\Diamond (Karo) ist ein "kombinatorisches" Prinzip in der Mengenlehre.

Definition

Für jede unendliche Kardinalzahl κ ist \Diamond_\kappa eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

  • es gibt eine Folge \langle A_\alpha: \alpha \in \kappa \rangle mit folgenden Eigenschaften:
  • für alle α gilt A_\alpha \subseteq \alpha
  • für alle A \subseteq \kappa ist die Menge \{\alpha \in \kappa : A \cap \alpha = A_\alpha\} ein stationäre Teilmenge von κ.

Statt \Diamond_{\omega_1} schreibt man oft nur \Diamond.

Zusammenhang mit CH und GCH

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus \Diamond_{\kappa^+} die Gleichung 2κ = κ + . Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus 2κ = κ + zusammen mit κω = κ kann man \Diamond_{\kappa^+} schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also \Diamond_{\kappa^+} für alle κ mit überabzählbarer Kofinalität.

Anwendungen

Mit Hilfe von ◊ kann man eine Suslingerade konstruieren.

Wikipedia
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