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Kanalkapazität

Aus Kefk.

Die Kanalkapazität ist Teil der informationstheoretischen Beschreibung eines Übertragungskanals. Sie gibt an, wie hoch die maximale Bitrate ist, die über einen Kanal fehlerfrei übertragen werden kann.

Claude Shannon zeigte am Modell der Zufallscodes, dass sich die theoretische Kanalkapazität durch geeignete Kodierung näherungsweise erreichen lässt.

Definition

Die Kanalkapazität $C$ für einen diskreten gedächtnisfreien Kanal ist das Supremum aller fehlerfrei erreichbaren Raten. Sie lässt sich auch als Maximum der Transinformation (= wechselseitige Information) angeben, kurz $C = m a x p (X) I (X; Y)$ .

Kanalkodierungstheorem

Das Shannonsche Kanalkodierungstheorem besagt, dass für einen rauschbehafteten Kanal mit der Kanalkapazität C ein Kodierungsverfahren existiert, so dass für eine Übertragungsrate $R < C$ die Fehlerwahrscheinlichkeit am Empfänger beliebig klein gemacht werden kann. Das heißt, dass es dann theoretisch möglich ist, Information fehlerfrei zu übertragen. Für $R > C$ ist keine fehlerfreie Übertragung möglich.

Grundlagen

Abtasttheorem
Entscheidungsfluss der Quelle
Quantisierung

Einheit

$\left[C\right] = \frac{\rm bit}{\rm s}$

Im laufenden Text wird auch bit/s geschrieben. Oft auch bps (inkorrekt).

Beispiele

Die Kanalkapazität des binären symmetrischen Kanales (Binary Symmetric Channel, BSC) ist:
$C = 1 - H(p) = 1 + p \cdot \log_2 p + ( 1 - p ) \cdot \log_2 (1 - p) ,$
wobei $H (p)$ die binäre Entropiefunktion darstellt:
$H(p) = - ( p \cdot \log_2 p + ( 1 - p ) \cdot \log_2 (1 - p))$ und $p$ die Fehlerwahrscheinlichkeit ist.
Für p=1 oder p=0 ist die Kapazität 1 (maximal), für p=0.5 ist sie 0 (minimal).

Die Kanalkapazität des binären Auslöschungskanales (Binary Erasure Channel, BEC) ist:
$C = 1 - p,$
mit der Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ . Sie ist maximal für p=0, minimal für p=1.

Die Kanalkapazität des bandbegrenzten verrauschten Signals ist nach dem Shannon-Hartley-Gesetz:
$C = \Delta f \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right).$
Dabei ist $Δ f$ die Bandbreite und $\frac{S}{N}=SNR$ das Verhältnis zwischen dem Signal und dem Rauschen. Um größtmögliche Kanalkapazität zu bekommen, kann entweder die Bandbreite $Δ f$ erhöht oder das SNR verbessert werden, so dass die Anzahl der Quantisierungsstufen heraufgesetzt werden kann.

Durch weiteres erhöhen der Bandbreite $Δ f$ auf unendlich und gleichem SNR ergibt sich als höchstmögliche Rate $R$ die ultimative Shannon-Grenze
$R < C_\infty = \frac{E_b}{N_0} = \ln 2 = 0{,}69 = -1{,}6~{\rm dB},$
wobei $E_b = \frac{S}{R}$ die pro Informationsbit normalisierte Sendeenergie darstellt.