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Funktionaldeterminante

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Die Funktionaldeterminante ist die Determinante der Jacobi-Matrix. Sie spielt bei der mehrdimensionalen Integralrechnung, also der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen, eine Rolle. Dort wird der Übergang zwischen Koordinatensystemen etwa mittels des Transformationssatzes beschrieben. Damit spielt sie auch eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie.

Beispiel

Zylinderkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten (r, \varphi, h) in kartesische Koordinaten lauten:

x = r \cos\varphi
y = r \sin\varphi
z = h

Die Funktionaldeterminante lautet also:

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=r.

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

\mathrm{d}V=\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)} \right| \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}h=r \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}h.

Genauso gut hätte man eine andere Reihenfolge der Polarkoordinaten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,h,\varphi)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & 0 & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & 0 & r\cos\varphi \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}=-r.

In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betrag der Determinante ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

Kugelkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten (r, \theta,\varphi) in kartesische Koordinaten lauten:

x = r \sin \theta \cos \varphi,
y = r \sin \theta \sin \varphi und
z = r \cos \theta \quad.

Die Funktionaldeterminante lautet also:

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}=\begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{vmatrix}=r^2\sin\theta.

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

\mathrm{d}V=\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi=r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi.
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