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Das Ising-Modell ist ein von Ernst Ising auf Anregung seines Doktorvaters Wilhelm Lenz um 1925 erstmalig genauer studiertes Modell der Theoretischen Physik. Es beschreibt insbesondere den Ferromagnetismus in Festkörpern (Kristallen). In dem Modell wird angenommen, dass die das magnetische Moment der Atome oder Ionen bestimmenden Spins nur zwei diskrete Zustände annehmen können (Spinwert ). Das Ising-Modell zählt zu den meistuntersuchten Modellen der statistischen Physik.

Der allgemeine Energieausdruck (oder Hamiltonian) für eine solche Situation ist durch das Heisenberg-Modell gegeben:

Hierbei bezeichnet

• s_i einen (mehrkomponentigen) Spin des Atoms am Platz i des Kristallgitters
• H das Magnetfeld
• J_ij die Wechselwirkungsstärke (Austauschkopplung) zwischen den Spins an den Plätzen i und j

Beim Ising-Modell wird die Zahl der Spinkomponenten auf Eins reduziert (d.h. parallel oder antiparallel zu einer ausgezeichneten Achse - hier z-Achse).

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Oft wird zusätzlich angenommen, dass J_ij nur für benachbarte Spins ungleich Null ist. Ist die Austauschkopplung positiv, so spricht man von einer ferromagnetischen Kopplung; ist sie negativ, so wird sie antiferromagnetisch genannt.

Durch geeignete Wahl der Wechselwirkungen können u. a. Spingläser (hierbei ist J_ij eine Zufallsgröße) oder auch räumlich modulierte magnetische Strukturen (hierbei liegen konkurrierende Kopplungen J_ij vor, siehe ANNNI-Modell) modelliert werden. Im Allgemeinen beschreibt das Ising-Modell die magnetischen Ordnungen bei tiefen Temperaturen, die bei höheren Temperaturen jedoch durch thermische Fluktuationen aufgebrochen werden, wobei ein Phasenübergang stattfindet. Eine umfassende theoretische Analyse von Phasenübergängen liefert die Renormierungsgruppentheorie, für die Kenneth G. Wilson 1982 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Bei der eindimensionalen Ising-Kette mit hinreichend kurzreichweitigen Wechselwirkungen beobachtet man jedoch keinen Phasenübergang. Dies hatte schon Ernst Ising in seiner Doktorarbeit mit Bedauern feststellen müssen. Die exakte Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und bei verschwindendem Magnetfeld, wurde 1944 von Lars Onsager publiziert: Ein Phasenübergang tritt auf. Für das dreidimensionale Ising-Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Spins gibt es keine analytisch-exakte Lösung. Dessen Eigenschaften kann man mit Hilfe der Molekularfeldnäherung (oder Landau-Theorie), Monte-Carlo-Simulationen, Reihenentwicklungen oder anderen numerischen Lösungverfahren berechnen.

Das Ising-Modell gilt wegen seiner konzeptionellen Einfachheit und seinen vielfältigen Eigenschaften als „Drosophila“ der Statistischen Physik. Es hat darüber hinaus Anwendungen in vielen Bereichen der Naturwissenschaften gefunden, bis hin zur Biologie und Hirnforschung. Die nahezu programmatische Aussage 'Ising models still thrive' (Michael E. Fisher) wird wohl noch für viele Jahre gültig bleiben.

Eine Verallgemeinerung des Ising-Modells liefert das Potts-Modell.

Weblinks

• Das Ising-Modell - gestern und heute
• ergebnisorientierte, theoretische Einführung zum Ising-Modell mit Überblick über numerische Lösungsverfahren
• Programme zur Visualisierung des Ising-Modells, sowie dem Heat-Bath und Cluster Algorithmus

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