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Integration durch Substitution

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Die Integration durch Substitution ist in der Mathematik im Rahmen der Analysis ein wichtiges Hilfsmittel, um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Die Substitutionsregel bildet in der Integralrechnung das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung. Anschaulich ausgedrückt wird durch die Substitution ein Teil des Integranden ersetzt. Das Ziel liegt dabei darin, das Integral zu vereinfachen und so letztendlich auf ein elementares Integral zurückzuführen. Es ist dabei jedoch zu beachten, immer auch das Differential und eventuell auch die Integrationsgrenzen mitzusubstituieren.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel auf mehrdimensionale Integrale ist der Transformationssatz.

Inhaltsverzeichnis

1 Substitution eines bestimmten Integrals
- 1.1 Beispiele
2 Substitution eines unbestimmten Integrals
- 2.1 Beispiele
  - 2.1.1 Beispiel 1
  - 2.1.2 Beispiel 2
3 Spezialfälle der Substitution
- 3.1 Logarithmische Integration
- 3.2 Lineare Substitution
4 Siehe auch
5 Weblinks

Substitution eines bestimmten Integrals

Ist $f\left(x\right)$ eine integrierbare Funktion und $\varphi(t)$ eine auf dem Intervall $[a,\,b]$ stetig differenzierbare Funktion deren Bildbereich im Definitionsbereich von $f$ liegt, dann gilt

$\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \cdot \underbrace{\varphi'(x)}_{=\frac{\mathrm{d} \varphi(x)}{\mathrm{d}x}} \,\mathrm{d}x = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\,\mathrm{d}t$

wobei $t=\varphi(x)$ , also insbesondere $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\varphi'(x)$ .

Diese Formel wird benutzt, um ein Integral in ein anderes Integral zu transformieren, das einfacher zu bestimmen ist. Man sagt $\varphi(x)$ substituiert $t$ und umgekehrt.

Beispiele

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

$\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x$

für eine beliebige reelle Zahl $a > 0$ : Durch die Substitution $t = \varphi(x) = 2x$ erhalten wir $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = 2 \Leftrightarrow \mathrm{d}t = 2\,\mathrm{d}x$ bzw. $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{2}$ und: $\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} [ -\cos(t) ]_0^{2a} = \frac{1}{2} (-\cos(2a)+\cos(0)) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2a))$ .

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

$\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,\mathrm{d}x$ :

Durch die Substitution $t = \varphi(x) = x^2 + 1$ erhalten wir $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$ und

$\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^2 2x \cos(x^2+1) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).$

Man beachte, dass die untere Grenze des Integrals $x = 0$ in $t = 0 2 + 1 = 1$ umgewandelt wurde und die obere Grenze $x = 2$ in $t = 2 2 + 1 = 5$ .

Beispiel 3

Berechnung des Integrals

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x$

Man substituiert $x = \sin(t) \Leftrightarrow t = \arcsin(x)$ , was zu $\mathrm{d}x = \cos(t)\, \mathrm{d}t$ führt und mit $\sqrt{1-\sin^2(t)} = \cos(t)$ die letzte Gleichung ergibt:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cos(t)\, \mathrm{d}t = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t)\, \mathrm{d}t$

Das Ergebnis kann mit Partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

$\cos^2(t) = \left(\cos t\right)^2 = \frac{1+\cos(2t)}{2}$

und einer weiteren Substitution berechnet werden.

Substitution eines unbestimmten Integrals

Wenn $f (x)$ eine integrierbare Funktion ist und $\varphi(t)$ eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, deren Wertebereich im Definitionsbereich von $f$ ist, dann gilt

$\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm{d}t$

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.