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Integrabilitätsbedingung

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Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann überprüft werden, ob ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist.

Ein Vektorfeld, d.h. eine Abbildung

f:X\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n

wird Gradientenfeld genannt, wenn ein Skalarfeld (ein Potential)

\varphi:X\to \mathbb{R}

existiert, sodass sich f darstellen lässt durch

f(x)=\mbox{grad} \varphi(x)

für alle x\in X.

Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann nun für stetig differenzierbare Vektorfelder entschieden werden, ob so ein Skalarfeld existiert, d.h. ob f ein Gradientenfeld ist. Es gilt:

Das Vektorfeld f:=(f_1,f_2,\dots,f_n)^T sei auf der offenen und sternförmigen Menge X\subset\mathbb{R}^n stetig differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen ist f genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung

\frac{\partial f_j}{\partial x_k}=\frac{\partial f_k}{\partial x_j}

für j,k=1,2,\dots, n auf X erfüllt ist.

Äquivalente Aussagen

Die folgenden Aussagen sind äquivalent und können ebenfalls zur Entscheidung, ob ein Vektorfeld f ein Gradientenfeld ist oder nicht, herangezogen werden:

  • f ist ein Gradientenfeld, d.h. es exisitert ein Skalarfeld \varphi, sodass für alle x\in X gilt:
f(x)=\mbox{grad} \varphi(x)
  • Integrale über das stetige Vektorfeld f in X sind wegunabhängig, d.h. sie hängen nur von Anfangs- und Endposition ab und Integrale über geschlossene Kurven verschwinden.
  • Die Rotation über f verschwindet für alle x\in X:
\mbox{rot}\, f(x)=0
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