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Als Inhalt (engl. content) eines Polynoms bezeichnet man den größten gemeinsamen Teiler seiner Koeffizienten: Sei

ein Polynom mit Koeffizienten aus einem beliebigen faktoriellen Ring R. Dann ist der Inhalt von f und wird im Folgenden mit inhalt_R(f) bezeichnet. Der Inhalt ist bis auf eine Einheit eindeutig bestimmt.

Beispiel: Der Inhalt von f = 6x³ + 9x + 12 als Polynom mit Koeffizienten aus ist

oder auch − 3. Fassen wir f dagegen als Polynom mit Koeffizienten aus auf, so erhalten wir

oder jede andere rationale Zahl außer der null. Falls klar ist, aus welchem Ring die Koeffizienten von f stammen, schreiben wir einfach inhalt(f).

Polynome, deren Inhalt eine Einheit ist, nennen wir primitiv.

Lemma von Gauß

Für das Produkt zweier Polynome gilt

inhalt(fg) = inhalt(f)inhalt(g),

insbesondere ist das Produkt zweier primitiver Polynome wieder primitiv.

Als „Lemma von Gauß“ werden oft auch die beiden folgenden Korollare aus dieser Aussage bezeichnet:

• Wenn ein Polynom (in einer Variablen) über einem faktoriellen Ring irreduzibel ist, dann ist es auch über seinem Quotientenkörper irreduzibel.
• Wenn ein normiertes Polynom eine Nullstelle im Quotientenkörper hat, dann liegt diese bereits im Ring selbst.

Gauß selbst zeigt in den Disquisitiones Arithmeticae (art. 42) die Variante:

• Das Produkt zweier normierter Polynome f,g mit rationalen Koeffizienten hat nur dann ganzzahlige Koeffizienten, wenn bereits die Koeffizienten von f und g ganzzahlig sind.

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