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Induktion (Elektromagnetismus)

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Unter elektromagnetischer Induktion versteht man das Entstehen einer elektrischen Spannung durch die Änderung eines Magnetflusses. Die Induktion wurde 1831 von Michael Faraday entdeckt bei dem Bemühen, die Funktionsweise eines Elektromagneten („Strom erzeugt Magnetfeld“) umzukehren („Magnetfeld erzeugt Strom“).

Die Induktionswirkung wird technisch vor allem in der Stromerzeugung (Generator) und für Transformatoren genutzt.

Es gibt zwei verschiedene Anschauungen für Induktion. Die erste erklärt die Induktion mit Hilfe der Lorentzkraft. Die zweite erklärt sie mit Hilfe des Modells des magnetischen Flusses.

Inhaltsverzeichnis

1 Induktionsgesetz in allgemeiner Form
2 Anwendung auf verschiedene Geometrien
3 Anwendung
4 Selbstinduktion
- 4.1 Wirkprinzip
- 4.2 Gesetz der Selbstinduktion
5 Siehe auch
6 Weblinks

Induktionsgesetz in allgemeiner Form

Das Induktionsgesetz ist ein Bestandteil der Maxwellschen Gleichungen.

In differentieller Form lautet es:

$\mbox{rot}\,\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=0$

In integraler Form entspricht das dem Ausdruck:

$\oint_{\partial A}\boldsymbol E\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A$

Das Induktionsgesetz besagt, dass die sogenannte Umlaufspannung um eine Fläche A (das ist die Summe aller Spannungen entlang der Randlinie von A einmal im Kreis herum) der negativen Änderung des magnetischen Flusses durch die zugehörige Fläche entspricht. Dabei sind die Flächennormale und die magnetische Flussdichte B zueinander parallel und mit der zugehörigen Umlaufrichtung rechtshändig zueinander gerichtet.

Die Feldstärke E ist entlang der Umrandung im allgemeinen nicht konstant. Sie passt sich vielmehr den dort gegebenen Materialbedingungen an. Ist der Leiterkreis unterbrochen, so fällt an dieser Stelle die gesamte induzierte Spannung ab.

Die Umlaufspannung wird häufig auch "induzierte Spannung" genannt. In einem Netzwerkmodell wird sie mit einer Spanungsquelle modelliert.

Anwendung auf verschiedene Geometrien

Das Induktionsgesetz beschreibt das Auftreten der Induktion bei verschiedenen Geometrien

eine Leiterschleife dreht sich in einem konstanten B-Feld
eine Leiterschleife wird von einem wechselnden B-Feldes durchsetzt
eine Leiterschleife ändert die vom B-Feld durchsetzte Fläche

Unterbrochene metallische Leiterschleife

Bild:Induktionsgesetz1.png

Leiterschleife im Magnetfeld

Im einfachsten Fall liegt eine metallische Leiterschleife mit Unterbrechung vor. Da das Metall im Vergleich zu der Unterbrechung eine sehr gute elektrische Leitfähigkeit besetzt, fällt entlang der Leiterschleife (von 1' nach 1) keine elektrische Spannung ab. Die gesamte Umlaufspannung fällt an den Klemmen als Spannung

$u_{11'}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A$

ab.

Vergrößert sich das B-Feld während des Zeitschrittes dt, so liegt eine Vergrößerung des Magnetischen Flusses $\Phi = \int B dA$ vor, da das B-Feld und die Fläche dA in die gleiche Richtung zeigen. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung $u 11'$ negativ.

Verringert sich das B-Feld während des Zeitschrittes dt, so liegt eine Verringerung des Flusses $\Phi = \int B dA$ vor. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung $u 11'$ positiv.

Bei der Beschreibung wurde selbstverständlich eine Integration in positiver Zeitrichtung (dt > 0) vorausgesetzt.

Geschlossene ideal leitende Leiterschleife

Bild:Induktionsgesetz2.png

Kurzschlussschleife

Eine geschlossene Leiterschleife mit idealer Leitfähigkeit verhindert, dass sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ändert, denn wegen der idealen Leitfähigkeit des Metalls ist das Umlaufintegral der Spannungen gleich Null, und es gilt:

$0 = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A$

Das Entstehen der Flussänderung wird durch die in der Leiterschleife induzierten Ströme verhindert.

In der Praxis ist der elektrische Widerstand der Kurzschlussschleife geringfügig größer als Null. Beträgt der elektrische Widerstand des Leiters R, so gilt:

$R \cdot i(t) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A$

Wegen des geringen Widerstands des elektrischen Leiters fließen hohe elektrische Ströme, die dem magnetischen Feld die Momentanleistung $P(t)=R \cdot i^2(t)$ entziehen und die Leiterschleife erhitzen. Nach diesem Prinzip arbeiten u. a. Induktionsbremsen und Induktionsherde. Bei Induktionsbremsen stammt die Energie, die für die Aufrechterhaltung des B-Feldes kommt, aus der Bewegung des zugehörigen Fahrzeugs. Diese nimmt stetig ab, bis das Fahrzeug sich verlangsamt hat. Bei Induktionsherden stammt die Energie zur Aufrechterhaltung des Magnetfeldes aus der Steckdose.

Die Aussage, dass der Strom i(t) seiner Ursache entgegenwirkt, ist im Sinne des gewählten Beschreibungsmodells problematisch. Tatsächlich fließt bei steigendem magnetischen Fluss wegen des Minuszeichens im Induktionsgesetz ein Strom entgegen der eingezeichneten positiven Stromrichtung i(t). Dieser Strom erzeugt gemäß dem Durchflutungssatz eine magnetische Feldstärke H, die andersherum zeigt als das B-Feld. Es ist jedoch zu beachten, dass das Induktionsgesetz nicht zwischen Selbsterregung und Fremderregung unterscheidet. Insofern ist die Kompensationswirkung des induzierten Stromes schon im magnetischen Fluss $\Phi=\int \vec B d \vec A$ , der in das Induktionsgesetz eingeht, enthalten.

Ist das B-Feld von außen eingeprägt, so ändert sich der Fluss durch den entstehenden induzierten Strom nicht. Vielmehr kompensiert die Quelle, die das Magnetfeld erzeugt, die durch den induzierten Strom erzeugte Flussänderung instantan, indem sie zusätzliche Energie zur Aufrechterhaltung des B-Feldes bereitstellt.

Diese Situation liegt in sehr guter Näherung beispielsweise beim Transformator mit eingeprägter Primärspannung vor. Sobald im Sekundärkreis ein Strom fließt, erhöht sich in der primärseitigen Spannungsquelle der Quellenstrom, so dass der magnetische Fluss im gemeinsamen Kern konstant bleibt.

Induktionsspannung durch Bewegen eines elektrischen Leiters in einem Magnetfeld (1. Induktionsphänomen)

Wenn ein elektrischer Leiter in einem Magnetfeld bewegt wird, entsteht nur dann eine Induktionsspannung, wenn er sich nicht in Feldrichtung bewegt (parallel zu den Feldlinien). Man erreicht eine maximale Spannung, wenn sich der elektrische Leiter senkrecht zum Magnetfeld bewegt (siehe auch Rechte-Hand-Regel). Da sowohl Geschwindigkeit als auch magnetische Flussdichte vektorielle Größen sind, muss das Vektorprodukt gebildet werden. (Daher auch der Faktor $\sin \varphi$ .)

Nach der Lenzschen Regel entsteht die Induktionsspannung, um durch den durch sie bewirkten Stromfluss wiederum ein Magnetfeld zu erzeugen, welches die äußere Magnetfeldänderung kompensiert, dass eine Induktion also immer ihrer Ursache entgegen wirkt. Dies schlägt sich im negativen Vorzeichen der folgenden Formeln nieder.

Die erzeugte Spannung ist dabei:

$U_{\rm ind} = - n \cdot B \cdot l \cdot v \cdot \sin \varphi$

U = induzierte Spannung in V
n = Anzahl der Windungen bei einer bewegten Spule
v = Geschwindigkeit des elektrischen Leiters in m/s
B = Flussdichte des Magnetfelds in T
l = Länge des elektrischen Leiters in m
$\varphi$ = Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und magnetischer Flussdichte

Sobald der elektrische Leiter sich im Magnetfeld bewegt, wirkt auf die Ladungen im elektrischen Leiter eine Kraft, die Lorentzkraft. Somit werden sie getrennt. Die Spannung hängt dann nur noch von der Größe dieser Kraft ab. Die Kraft (auf eine Ladung) wiederum hängt nur von der Geschwindigkeit und vom Magnetfeld ab. Es ergibt sich obige Gleichung.

Induktionsspannung durch Änderung des magnetischen Flusses (2. Induktionsphänomen)

Induktionen treten nicht nur auf, wenn sich elektrische Leiter in einem Magnetfeld bewegen, sondern auch, wenn sich das magnetische Feld verändert. Um dies zu verstehen, muss man eine Modellgröße einführen: den magnetischen Fluss. Dieser ist für ein homogenes Feld definiert als:

$\Phi = \vec B \cdot \vec A$

Darin:

A = Fläche der Stromschleife, deren Raumorientierung durch ihren Normalenvektor angegeben ist

Für die induzierte Spannung gilt:

$U_{\rm ind} = -n \cdot \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -n \cdot \dot \Phi$

Dabei ist n die Anzahl der Windungen der Spule. Wenn sich nun entweder das Magnetfeld ändert (schwächer oder stärker) oder die Fläche kleiner oder größer wird, ändert sich auch der magnetische Fluss. Diese Änderung ist die Ableitung nach der Zeit und ergibt die induzierte Spannung. Der Faktor -n gibt zum Einen die Vergrößerung der Spannung an, je mehr Windungen eine Spule im Feld hat, und zum Anderen im Vorzeichen die Lenzsche Regel, die besagt, dass eine Induktion immer ihrer Ursache entgegen wirkt.

Satz: Ändert sich der magnetische Fluss $\Phi = B\cdot A_{s}$ , der eine Spule von $n$ Windungen durchsetzt, in der Zeitspanne $d t$ um $d Φ$ , so wird in dieser Spule die mittlere Spannung: $U_{\rm ind}=n \cdot \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$ induziert (nach Faraday), die so gepolt ist, dass der von ihr getriebene Strom der Ursache des Induktionsvorganges entgegenwirken kann (nach Lenz). Momentanwert durch Ableiten nach der Zeit: $U_{\rm ind}=-n \cdot \dot \Phi$

Anwendung

Die Induktion ist die Grundlage für die folgenden Anwendungen:

Antenne für den Empfang elektromagnetischer Wellen:
- Rahmenantenne mit besonders großer Fläche A
- Ferritantenne mit besonders großem $\dot \Phi$ durch große magnetische Suszeptibilität $\mu_r \,$ des Ferritmaterials
Induktionsschleife für KFZ zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
dynamisches Mikrofon
dynamisches (Magnet-) Tonabnehmersystem für Plattenspieler
Tonabnehmer für elektrische Saiteninstrumente (z. B. E-Gitarre und E-Bass)
Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
Generator = Dynamo = Lichtmaschine
RFID-Tag (beispielsweise Ski-Pass)

Eine Spannung wird induziert, solange sich das von der Spule umfasste Magnetfeld, ändert. Eine Induktionsspannung ist nur dann vorhanden, wenn sich der magnetische Fluss ändert. Da der Fluss das Produkt aus Flussdichte und Fläche ist, kann sich dazu entweder die Flussdichte B oder die Fläche A ändern. Eine Änderung der Fläche wird erreicht, indem man z. B. die Spule in einem konstanten Magnetfeld dreht (die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche ist null, wenn die Spule quer zum Magnetfeld steht, sie ist maximal, wenn das Feld die Spule axial durchsetzt) oder einen Magneten in einer Spule. Nach diesem Prinzip wird in einem Generator (Dynamomaschine) Strom erzeugt.

Transformator

Eine Änderung der Flussdichte erreicht man durch ein veränderliches Magnetfeld. Nach diesem Prinzip wird in der Sekundärwicklung eines Transformators bei Speisung der Primärwicklung mit einer Wechselspannung eine Wechselspannung induziert, deren Höhe proportional zum Verhältnis der Windungszahlen ist.

Hierunter fallen indirekt auch alle Arten der Induktiven Erwärmung durch Wirbelstrom: der Induktionsofen, Induktionshärten und der Induktionsherd usw.
Induktive Erwärmung von Werkstoffen: Induktionsöfen werden vorwiegend in der Industrie zum Härten, Löten, Schmelzen usw. eingesetzt. Diese Technik kommt zunehmend in der privaten Anwendung beispielsweise in der Küche als Induktionsherd zum Gebrauch.

Selbstinduktion

Wirkprinzip

Elektrische Leiter oder Spulen, die durch den Stromfluss ein Magnetfeld erzeugen (Elektromagnetismus), können durch diesen Vorgang auch in sich selbst wieder eine Spannung induzieren. Dieser Vorgang wird Selbstinduktion genannt. Die Polarität der selbst-induzierten Spannung ist dabei der Erregerspannung entgegengerichtet. Technisch wird die Selbstinduktion in vielfacher Weise benutzt.
Störende oder gefährliche Spannungsveränderungen in der Leitung, zum Beispiel durch Ab- oder Zuschalten großer Verbraucher oder durch Blitzeinschlag, können durch Einbau einer Drossel gedämpft werden. Bei Wechselstrom wachsen die Selbstinduktion und die bremsende Gegenspannung mit der Frequenz, da mit deren Zunehmen auch eine Zunahme der Magnetfeldänderung einhergeht. Die Selbstinduktion wird auch genutzt, um mit einer Zündspule den Zündfunken bei Ottomotoren oder die erforderliche hohe Zündspannung bei Leuchtstofflampen zu erzeugen. Die Wirkung entsteht, wenn der Stromfluss durch die Zündspule übergangslos unterbrochen wird. Das dann abrupt zusammenbrechende Magnetfeld erzeugt eine hohe Gegenspannung.

Gesetz der Selbstinduktion

In einer Spule der Länge $l$ mit n Windungen, in der ein elektrischer Strom $I$ fließt, entsteht das Magnetfeld mit der Feldstärke H

$H = I \cdot \frac{n}{l}$

und die Flussdichte B ergibt sich mit den vom Spulenkern abhängigen Materialkonstanten μ_r und der magnetischen Feldkonstanten μ₀ = 4 · π · 10^-7 H/m.

$B\,$	$=\mu_r \cdot \mu_0 \cdot H$
	$=\mu_r \cdot \mu_0 \cdot I \cdot \frac{n}{l}$ ,

Wegen Φ = B · A folgt dann

$U_{\rm ind}\,$	$=\,- n \cdot \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
	$=\,- n \cdot \mu_r \cdot \mu_0 \cdot \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \cdot A \cdot \frac{n}{l}$
	$=\,- (\mu_r \cdot \mu_0 \cdot A \cdot \frac{n^2}{l}) \cdot \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$ .