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Hyperbelfunktion

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Bild:Sinh cosh tanh.png
sinh, cosh and tanh

Bild:Csch sech coth.png
csch, sech and coth

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

Sie sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Definition über die Exponentialfunktion

\sinh(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}
\cosh(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}

geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel

Bild:Funhipgeom.png

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Funktionen eine Hyperbel x2 − y2 = 1 beschreiben. Die Funktionen stellen eine Verbindung zwischen der Fläche a, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der x-Achse und der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist sinh(a) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(a) die dazugehörige x-Koordinate wenn die Hyperbel und die Geraden die Fläche a einschließen. tanh(a) ist die y-Koordinate der Geraden bei x=1. Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen

Bild:Cosh sinh.png
Graph der reellen Hyperbelfunktionen

Für alle reelle Zahlen r sind auch sinh(r) und cosh(r) reell.

Die reelle Funktion sinh ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.

Die reelle Funktion cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,

für Werte > 0 streng monoton steigend.

Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert - \pi / 2 < \operatorname{Im}\,z < \pi / 2 \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Re}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Im}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion sinh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert 0 < \operatorname{Im}\,z < \pi \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Im}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Re}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion cosh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen

Symmetrie und Periodizität

Für alle komplexen Zahlen z gilt:

  • sinh(z) = − sinh( − z), d.h. sinh ist eine ungerade Funktion.
  • cosh(z) = cosh( − z), d.h. cosh ist eine gerade Funktion.

Es liegt keine Periodizität vor.

Additionstheoreme

Für alle komplexen Zahlen z1 und z2 gilt:

  • \sinh(z_1 + z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) + \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)
  • \sinh(z_1 - z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) - \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)
  • \cosh(z_1 + z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) + \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)
  • \cosh(z_1 - z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) - \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)

Zusammenhänge

\,{\cosh}^2 (z) - {\sinh}^2 (z) = 1

Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm sinh}(x)={\rm cosh} (x).

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm cosh}(x)={\rm sinh} (x).

Die Ableitung des Tangens Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm tanh}(x)={\rm sech}^2 (x).

Alternative Namen

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für sinh sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für cosh sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

Abgeleitete Funktionen

  • Tangens Hyperbolicus \tanh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}
  • Kotangens Hyperbolicus \coth(x) := \frac{1}{\tanh(x)} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}
  • Sekans Hyperbolicus \operatorname{sech}(x) := \frac{1}{\cosh(x)}
  • Kosekans Hyperbolicus \operatorname{csch}(x) := \frac{1}{\sinh(x)}

Umrechnungstabelle

Funktion sinh cosh tanh coth
sinh(x) = \,\sinh(x)\, \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1} \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}
cosh(x) = \,\sqrt{1+\sinh^2(x)} \,\cosh(x) \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}}
tanh(x) = \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}} \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)} \,\tanh(x) \,\frac{1}{\coth(x)}
coth(x) = \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)} \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}} \,\frac{1}{\tanh(x)} \,\coth(x)
\operatorname{sech}(x)= \,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}} \,\frac{1}{\cosh(x)} \,\sqrt{1 - \tanh^2(x)} \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|}
\operatorname{csch}(x)= \, \frac{1}{\sinh(x)} \, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}} \, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)} \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1}


Funktion \operatorname{sech} \operatorname{csch}
sinh(x) = \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)} \frac{1}{\operatorname{csch}(x)}
cosh(x) = \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)} \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}
tanh(x) = \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)} \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}
coth(x) = \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}
\operatorname{sech}(x)= \, \operatorname{sech}(x) \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}}
\operatorname{csch}(x)= \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} \, \operatorname{csch}(x)

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

Bild:F of x.svg
Hyperbolische und Area-Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

 
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