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Homomorphismus

Aus Kefk.

Ein Homomorphismus (nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) ist eine Abbildung zwischen zwei Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden. ("Strukturerhaltend")

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine mathematische Definition
2 Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen
3 Weitere Begriffe
- 3.1 universelle Algebra
- 3.2 Kategorientheorie
4 Weblinks

Allgemeine mathematische Definition

Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.

Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.

Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen

Seien $A$ und $B$ zwei Strukturen, z. B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper usw.

Im folgenden bezeichne $(A, * 1, * 2,..., e 1, e 2,...)$ eine Struktur mit einer Trägermenge $A$ sowie Verknüpfungen $* i$ auf $A$ mit jeweiligen neutralen Elementen $e i$ .

Beispiele sind die Gruppe $(\mathbb Z, +, 0)$ der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element $0$ oder der Körper $(\mathbb R, +, \cdot, 0, 1)$ der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $f\colon A\to B$ heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen $\left(A, \oplus, 1_{\oplus} \right)$ und $\left(B, \otimes, 1_{\otimes}\right)$ , wenn für alle $a, b \in A$ gilt:

$f(a \oplus b) = f(a) \otimes f(b)$ .

Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus $f$ leicht zeigen, dass

$f\left(1_{\oplus}\right)=1_{\otimes}$ ,

denn es gilt

$1_\otimes = f(1_\oplus) \otimes f(1_\oplus)^{-1} = f(1_\oplus \oplus 1_\oplus) \otimes f(1_\oplus)^{-1} = f(1_\oplus) \otimes f(1_\oplus) \otimes f(1_\oplus)^{-1} = f(1_\oplus)$ .

Für alle $a \in A$ ist $f\left(a^{-1}\right)$ das Inverse zu $f (a)$ , d.h.

$f\left(a^{-1}\right)=f\left(a\right)^{-1}$ ,

denn es gilt

$f\left(a^{-1}\right)=f\left(a^{-1}\right)\otimes f\left(a\right)\otimes f(a)^{-1} = f\left(a^{-1} \oplus a\right)\otimes f(a)^{-1} = f\left(1_\oplus\right)\otimes f(a)^{-1} = f(a)^{-1}$ .

Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.

Ringhomomorphismus

Es seien $(R, +, \cdot)$ und $(S, \oplus, \otimes)$ Ringe mit Einselement und $f\colon R\to S$ eine Abbildung. $f$ heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

$f(a+b) = f(a)\oplus f(b)$ für alle $a,b\in R$ (d.h. $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus von $(R, + )$ nach $(S, \oplus)$ ),
$f(a\cdot b) = f(a)\otimes f(b)$ für alle $a,b\in R$ und
$f (1 R) = 1 S$ .

Wenn $x$ invertierbar ist, dann ist $f (x - 1) = f (x) - 1$ .

Ist $f:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von $f$

$\ker f := \left\{ x\in R : f(x)=0_S \right\}$

ein Ideal in $R$ .

$f$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist, d. h. nur die Null enthält.

Körperhomomorphismus und K-Homomorphismus von Vektorräumen

Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind ${0}$ und $R$ die einzigen Ideale in $R$ , und damit ist ein Körperhomomorphismus immer injektiv. Ein Beispiel, das jedem geläufig sein sollte, ist die Nullpunktsgerade $f (x) = a * x$ mit $a, x \in R$ über dem Körper $R$ .

Homomorphismen von $K$ -Vektorräumen, also Räumen die für die Multiplikation einen Körper $K$ "heranziehen" müssen, sind besser bekannt als lineare Abbildungen. Sie bilden die Grundlage der linearen Algebra. Da jeder Körper $K$ auch ein $K$ -Vektorraum ist, ist die Nullpunktsgerade selbstverständlich auch linear.

Weitere Begriffe

universelle Algebra

Ein Homomorphismus $f$ heißt:

Epimorphismus, wenn $f$ surjektiv ist.
Monomorphismus, wenn $f$ injektiv ist.
Isomorphismus, wenn $f$ bijektiv.
Endomorphismus auf $A$ , wenn $f \colon A \to A$ ( $f$ bildet $A$ in sich selbst ab).
Automorphismus auf $A$ , wenn $f \colon A \to A$ (Endomorphismus) zusätzlich Isomorphismus ist.

Kategorientheorie

Ein Homomorphismus $f$ heißt:

Retraktion, wenn es einen Homomorphismus $g$ gibt, so dass $f \circ g = \mbox{id}$ ist.
Schnitt, wenn es einen Homomorphismus $g$ gibt, so dass $g \circ f = \mbox{id}$ ist.
Epimorphismus, wenn $f$ rechtskürzbar ist.
Monomorphismus, wenn $f$ linkskürzbar ist.
Bimorphismus, wenn $f$ ein Epimorphismus und Monomorphismus ist.
Isomorphismus, wenn $f$ Retraktion und Schnitt ist.
Endomorphismus auf $A$ , wenn $f$ von $A$ nach $A$ abbildet.
Automorphismus auf $A$ , wenn $f \colon A \to A$ ein Isomorphismus ist.