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Hexadezimalsystem

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Im Hexadezimalsystem (griech. hexa „sechs“ und lat. decem „zehn“, besser Sedezimalsystem von lat. sedecim „sechzehn“, auch als hexdekadisch bezeichnet) werden Zahlen in einem Stellenwertsystem mit der Basis 16 (also einem 16er-System) dargestellt.

In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem neben dem Oktalsystem oft verwendet, um die Datenworte bei Computern, die oft aus Oktetten bestehen, in einer zweistelligen Hexadezimalzahl darzustellen. Im Gegensatz zum Dezimalsystem eignen sich das Hexadezimalsystem mit seiner Basis als vierte Zweierpotenz (16 = 24) sowie das Oktalsystem mit seiner Basis als dritte Zweierpotenz (8 = 23) nämlich gut zur Notation, da stets eine feste Anzahl Zeichen benötigt wird (zur Darstellung eines Oktetts mit 8 binären Ziffern werden nur zwei Hexadezimalziffern benötigt).

Wir sind es gewöhnt, im Dezimalsystem („10er-System“) zu rechnen. Das bedeutet, unser „arabisches“ (eigentlich indisches) Zahlensystem verwendet 10 Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen 16 Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück. So lassen sich mit einer einstelligen hexadezimalen Zahl die Dezimalzahlenwerte von 0 bis 15 darstellen:

hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
dual 000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110111110000
dezimal 012345678910111213141516
oktal 01234567101112131415161720

Inhaltsverzeichnis

Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um eine hexadezimale Zahl von einer normalen Dezimalzahl unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise wird die hexadezimale Zahl mit einem Präfix oder Suffix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind zum Beispiel: 7216, 72H, 0x72, "72, 72h und $72.

Längere Zahlen werden auch in Hexadezimaldarstellung leicht unübersichtlich, so dass man Trennzeichen wie die Tausenderpunkte bei Dezimaldarstellung (im Deutschen, Kommata im Englischen) einführt, nur hier eher alle vier Stellen: AFFE.0815 . Hierfür gibt es allerdings keine feste Konvention, so dass auch hierbei Varianten vorkommen.

Zum Vergleich: Dezimale Zahlen werden, wenn eine Unterscheidung notwendig ist, zum Beispiel 11410 oder 114D geschrieben. Oktale Zahlen werden meist durch eine obligatorische führende Null gekennzeichnet, zum Beispiel 017.

Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F
........................ ........................
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF
........................ ........................
FF0 FF1 FF2 FF3 FF4 FF5 FF6 FF7 FF8 FF9 FFA FFB FFC FFD FFE FFF
........................ ........................
FFF0 FFF1 FFF2 FFF3 FFF4 FFF5 FFF6 FFF7 FFF8 FFF9 FFFA FFFB FFFC FFFD FFFE FFFF
........................ ........................

Für die hexadezimalen Ziffern und Zahlen sind keine eigenständigen Namen gebräuchlich. Hexadezimalzahlen werden daher Ziffer für Ziffer gelesen.

Beispiele:

  • 2F sprich: „zwei-eff“,
  • 112 sprich: „eins-eins-zwei“.

Anwendung

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben: 

                                   Dual      Hexadezimal      Dezimal
                                   1111  =             F      15      (ein Nibble)
                                 1.1111  =            1F      31
                      11.0111.1100.0101  =          37C5      14277
                    1010.1100.1010.1011  =          ACAB      44203
1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101  =      AFFE0815      2952661013

Computersoftware stellt daher Maschinensprache oft auf diese Weise dar.

Konvertierung in andere Zahlensysteme

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird.

Im Beispiel der 127810 sähe das so aus: 

1278 : 16 = 79 Rest 14 (= E) (Nr:1278-(79*16)=14)
  79 : 16 =  4 Rest 15 (= F) (Nr:79-(4*16)=15)
   4 : 16 =  0 Rest  4       (Nr:4-(0*16)=4)

Die Hexadezimalzahl wird von unten nach oben gelesen und ergibt somit 4.F.E.

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird. Dazu muss man allerdings noch die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für 4FE16:

4 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 14 \cdot 16^0 = 1278_{(10)}

Für das Zählen und Rechnen im Hexadezimalsystem gibt es eine Eselsbrücke: A = 10 und B = 11 kann sich jeder merken. C wie zwölf, D wie dreizehn, E für vierzehn kommt vor F wie fünfzehn.

Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

Formuliert im Dezimalsystem:

h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot {(16_{10})}^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;15\}

Formuliert im Hexadezimalsystem:

h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot {(10_{16})}^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;9;A;\cdots;F\}

Siehe auch

Weblinks

wikt:
Wiktionary
 Wiktionary: Hexadezimalsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen
Wikipedia
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