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Helmholtz-Differentialgleichung

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Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) beschreibt ein Randwertproblem einer gesuchten Funktion $\varphi(x)$ , bei der die negative Krümmung an jeder Stelle $x$ proportional zum Wert $\varphi$ ist. Anwendung findet diese beispielsweise in der Physik, wenn man bei der Wellengleichung die Trennung der Variablen vornimmt und dabei eine harmonische Zeitabhängigkeit annimmt.

Die Helmholtz-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

$\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \varphi(x) + k^2 \varphi(x) = 0$

oder kürzer

$\Delta \varphi + k^2 \varphi = 0$

wobei $Δ$ der Laplace-Operator ist.

Setzt man $k = 0$ , so erhält man die Laplace-Gleichung.

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