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Heisenberg-Bild

Aus Kefk.

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell des Umgangs mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

Zustände sind nicht zeitabhängig: $|\psi\rangle={\rm const}$
Operatoren sind zeitabhängig: $\hat A=\hat A(t)$
Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung.

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: $|\psi\rangle_{\rm H}$ bzw. $\hat A_{\rm H}(t)$

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet.

Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten. Für eine unitäre Zeitentwicklung gilt für einen Erwartungswert a des Operators $\hat A$ :

$a=\langle\psi(t)|\hat A_{\rm S}(t)|\psi(t)\rangle_{\rm S}=\langle\psi(0)|\hat U^{\dagger}(t)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U(t)|\psi(0)\rangle_{\rm H} =\langle\psi(0)|\hat A_{\rm H}(t)|\psi(0)\rangle_{\rm H}$

wobei $\hat U(t)$ der unitäre Zeitentwicklungsoperator und $\hat U^{\dagger}(t)$ sein adjungierter Operator sind.

Der Operator $\hat A_{\rm H}(t)$ im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator $\hat A_{\rm S} (t)$ im Schrödinger-Bild:

$\hat A_{\rm H}(t)=\hat U^{\dagger}(t)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U(t)$

Es sei bemerkt, dass im Allgemeinen der Operator $\hat A$ sowohl im Heisenberg-Bild, als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

${d \over dt} \hat A_{\rm H}(t)={\partial \over \partial t} \hat A_{\rm H}(t) +{i \over \hbar}[\hat H_{\rm H}(t)\mbox{,} \hat A_{\rm H}(t)] \; ,$

wobei $\left[\hat H_{\rm H}(t),\hat A_{\rm H}(t)\right]$ der Kommutator des Hamilton-Operators $\hat H_{\rm H}(t)$ und des Operators $\hat A_{\rm H}(t)$ ist.

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