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Hauptideal

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Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Hauptideal ist ein Ideal eines Ringes R, das von einem einzigen Element a des Ringes erzeugt wird. Genauer unterscheidet man für ein Ringelement a

  • das von a erzeugte Haupt-Linksideal
    Ra:=\{ra \mid r\in R\},
  • das von a erzeugte Haupt-Rechtsideal
    aR:=\{ar \mid r\in R\}
  • sowie das von a erzeugte beidseitige Hauptideal
    RaR:=\{r_1 a s_1 + \ldots + r_n a s_n\mid n \in \Bbb N, r_i,s_i\in R\}

Ist der Ring R kommutativ, dann stimmen alle drei Begriffe überein, und man schreibt meist (a) (seltener auch \langle a \rangle) für das von a erzeugte Hauptideal.

Alternative Definition von Hauptidealen

Definiert man das von einer Menge erzeugte Ideale über Schnitte, anstatt über das Komplexprodukt durch

(A):= \bigcap_{J\,\mathrm{Ideal\,von\,}R,A \subseteq J} J,

dann ist sie nur dann gleich wie die oben angegebenen, wenn R ein Ring mit 1 ist. Ansonsten ist

(a) = \{ ma + ra + as + r_1 a s_1 +. ..+ r_n a s_n | m \in \Bbb Z, n \in \Bbb N, r_i,s_i \in R \} .

Beweis: Sei K die oben angegeben Menge. Dann ist a \in K, da a = 1a + 0a + a0 + 0a0 ist, und K ist Ideal, da für b,c \in K, \exists n,n' \in \Bbb N, m,m' \in \Bbb Z und r,s,r_i,s_i,r',s',r'_i,s'_i \in R, so dass b = ma + ra + as + r1as1 + ... + rnasn und c = m'a + r'a + as' + r'1as'1 + ... + r'n'as'n' sind. Daraus ergibt sich b-c = (m-m')a + (r-r')a + a(s-s') + r_1 a s_1 +. ..+ r_n a s_n - r'_1 a s'_1 -. ..- r'_{n'} a s'_{n'} \in K und \forall t \in R bt = (ma + ra + as + r_1 a s_1 +. ..+ r_n a s_n) t = m(ra) + a(st) + rat + r_1 a (s_1 t) + r_n a (s_n t) \in K. Analog für tb. Also ist K ein Ideal von R, das a enthält, also gilt \bigcap_{J\,Ideal\,von\,R,a \in J} J \subseteq K . Umgekehrt sei J ein Ideal von R, das a enthält. Dann ist ma,ra,as,r_i a s_i \in J \forall m \in \Bbb Z, r,s,r_i,s_i \in R da J ein Ideal ist, und da (J,+) eine Gruppe ist und bzgl. + abgeschlossen ist folgt, dass ma + ra + as + r_1 a s_1 +. ..+ r_n a s_n \in J ist. Also K \subseteq \bigcap_{J\,\mathrm{Ideal\,von\,}R,a \in J} J also insgesamt K = \bigcap_{J\,\mathrm{Ideal\,von\,}R,a \in J} J.

Für Ringe mit 1 ist RaR klarerweise in (a) enthalten, und umgekehrt gilt für b \in (a) , dass b = ma + ra + as + r_1 a s_1 +. ..+ r_n a s_n = (m 1_R)a + ra 1_R + 1_R as + r_1 a s_1 +. ..+ r_n a s_n \in RaR.

Eigenschaften

Nicht alle Ideale sind Hauptideale.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring \Bbb C[X, Y] aller Polynome in zwei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten. Das von den beiden Polynomen X und Y erzeugte Ideal (X,Y) besteht aus allen Polynomen aus \Bbb C[X, Y], deren Absolutglied gleich 0 ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom p ein Erzeuger von (X,Y), dann müssten X und Y Vielfache von p sein, also wäre p konstant. Das einzige konstante Polynom in (X,Y) ist aber das Nullpolynom, und dieses erzeugt lediglich das einelementige Nullideal (0).

Hauptidealring

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring (engl. principal ideal domain, PID).

Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring; der von den ganzen Zahlen bekannte Beweis der Primfaktorzerlegung (der Fundamentalsatz der Arithmetik) funktioniert in jedem Hauptidealring.

Alternative Definition

Man könnte abweichend von oben den Hauptidealring auch ohne die Forderung der Nullteilerfreiheit des Ringes definieren. Dann wäre jeder nullteilerfreie Hauptidealring ein faktorieller Ring. Ein Beispiel für einen nicht-nullteilerfreien Hauptidealring wäre dann der \mathbb{Z}_4.

Eigenschaften

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring; der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) liefert den Erzeuger eines vorgegebenen Ideals.

Allgemeiner haben je zwei Hauptideale in einem beliebigen kommutativen Ring einen größten gemeinsamen Teiler im Sinne der Idealmultiplikation. In Hauptidealringen erlaubt dies die Bestimmung des ggT zweier Ringelemente, eindeutig bis auf Multiplikation mit Einheiten. Wir können also den ggT von a und b definieren als einen Erzeuger des Ideals (a, b).

Ein Hauptidealring R besitzt folgende Eigenschaften:

  • Es ist d genau dann ein ggT von a_1,\dots,a_n, wenn das Ideal (a_1,\dots, a_n) gleich dem von d erzeugten Ideal (d) ist.
  • Lemma von Bézout: Zu a_1,\dots,a_n existiert stets ein ggT d\in R, und dieser lässt sich mit Hilfe von Elementen r_i\in R darstellen in der Form
d=\sum_{i=1}^n r_i a_i.
  • Die Elemente a_1,\dots,a_n sind genau dann teilerfremd, wenn es r_1,\dots,r_n in R gibt mit 1=\sum_{i=1}^n r_i a_i.
Wikipedia
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