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Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)

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Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik, auch quantenharmonischer Oszillator, beschreibt - analog zum harmonischen Oszillator in der klassischen Physik - das Verhalten eines Teilchens (hier beschrieben durch eine Wellenfunktion) in einem harmonischen Potential.

Ein Beispiel der klassischen Physik ist ein Massenpunkt an einer Feder. Dieser Massenpunkt, welcher sich in einem harmonischen Potential V(x) = \frac{1}{2} k x^2 befindet, erfährt eine, der Auslenkung aus der Ruhelage proportionale, Rückstellkraft: F(x) = -\frac{\partial V(x)}{\partial x} = - k\ x\qquad , wobei k die Federkonstante ist.

Der quantenharmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik, da es eines der wenigen geschlossen (also ohne Näherungen und numerische Methoden) lösbaren Systeme der Quantenmechanik ist. Mit ihm können einen Reihe physikalischer Sachverhalte näherungsweise beschrieben werden:

  • In der Molekülphysik erlaubt er eine Näherung der Bindungsverhältnisse zwischen Atomen und ermöglicht so z. B. eine Vorhersage über Schwingungsspektren. Dies lässt sich verdeutlichen, indem eine Bindung durch zwei über eine Feder (harmonisches Potential) miteinander verbundende Massepunkte (die Atome), die gegeneinander schwingen, dargestellt wird:
Bild:Harmoszi molekuel.png
Die lineare Rückstellkraft F(x) einer solchen Feder führt auf ein harmonisches Potential V(x) (proportional x2) und somit auf den harmonischen Oszillator. In realen Molekülen sieht das Potential etwas anders aus, aber der harmonische Oszillator ist, zumindest für niedrige Schwingungsenergien, eine gute Näherung.
  • Ein weiteres Beispiel ist die Torsionsschwingung des Ethylenmoleküls, die in der folgenden Zeichnung dargestellt ist:
Bild:Torsionsschwingung ethylen.png
Dabei verdrillt sich sozusagen die Doppelbindung und jeweils zwei Wasserstoff-Atome schwingen drehend gegeneinander.
  • In der modernen Atomphysik werden zu untersuchende Atome und Ionen in optischen Fallen bzw. Ionenfallen gefangen und gekühlt, um z. B. bei Messungen eine höhere Auflösung zu erhalten. Außerdem kann man in solchen Fallen neue Zustände der Materie untersuchen (z. B. Bose-Einstein-Kondensate, Fermi-Kondensate). Solche Fallen weisen ein, in erster Näherung, parabolisches Potential auf. Somit können Teilchen in diesen Fallen ebenfalls mit dem Modell des quantenmechanischen harmonischen Oszillators beschrieben werden.
  • In der Festkörperphysik beschreibt das Einstein-Modell (nach Albert Einstein) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen. Grundlage ist die Beschreibung des Festkörpers als aus N quantenharmonische Oszillatoren bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Im Jahr 1900 entwickelte Max Planck eine Formel zur Beschreibung der gemessenen Frequenzverteilung der von einem Schwarzkörper emittierten Strahlung, wobei er von der Annahme ausging, dass der schwarze Körper aus Oszillatoren mit diskreten Energieniveaus besteht[1].

Über die geschichtliche Entwicklung der Quantenmechanik, siehe Hauptartikel Quantenmechanik - Geschichte

Einführung

Die klassische Hamilton-Funktion für ein Teilchen mit der Masse m in einem harmonischen Potential V(\vec x) = k \vec x^2 mit k = \frac{1}{2}m \omega^2 , wobei ω die Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators ist, lautet:

H = \frac{\vec p^2}{2 m} + \frac{m \omega^2 \vec x^2}{2}

Die Hamilton-Funktion beschreibt hier die Gesamtenergie des Systems, also die Summe aus kinetischer Energie (erster Term) und potentieller Energie (zweiter Term).

Nun werden der Ort \vec x und der Impuls \vec p durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt (Korrespondenzprinzip):

Ortsoperator: \vec x\rightarrow\hat \vec x=\vec x und
Impulsoperator:\vec p\rightarrow\hat{\vec p}=-i\hbar\vec\nabla

\vec\nabla bezeichnet den Nabla-Operator. Der letzte Teil der Ausdrücke ist jeweils die Ortsdarstellung der Operatoren. Damit geht die klassische Hamilton-Funktion in den Hamilton-Operator in der Ortsdarstellung über:

\hat H = \frac{\hat \vec p^2}{2 m} + \frac{m \omega^2 \hat \vec x^2}{2}=- \frac{\hbar^2}{2 m}\vec\nabla^2 + \frac{m \omega^2 \vec x^2}{2}

Im eindimensionalen Fall reduziert sich der Nabla-Operators \vec\nabla auf die partielle Ableitung nach x: \frac{\partial}{\partial x}. Im Folgenden wird zunächst nur der eindimensionale Fall betrachtet.

Die Schrödinger-Gleichung des Systems

Mit dem oben beschriebenen Hamilton-Operator erhält man die Eigenwertgleichung – (stationäre) Schrödinger-Gleichung – des harmonischen Oszillators.

\hat H |\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle,

in der Ortsdarstellung

- \frac{\hbar^2}{2 m}\vec\nabla^2\psi_n(\vec{x}) + \frac{1}{2}m \omega^2 \vec x^{\,2}\psi_n(\vec{x})=E_n\psi_n(\vec{x}).

Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Eigenfunktionen

Bild:Qm harmoszi2.png
Orts-Wellenfunktion eines Teilchens im harmonischen Potential. Links ist deren Betragsquadrat (=Aufenthaltswahrscheinlichkeit) dargestellt und rechts einige Wellenfunktionen zu verschiedenen n

Die Eigenfunktionen \psi_n(\vec{x}) des harmonischen Oszillators ergeben sich durch Lösen der obigen Differentialgleichung. Es sind die hermiteschen Funktionen

\psi_n(x)= \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right) e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2}.

Dabei sind Hn(x) die hermiteschen Polynome. Der Term e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2} beschreibt den exponentielles Abfall außerhalb des Oszillatorpotentials.

Der Grundzustand n = 0 hat die Form einer Gauß-Kurve

\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^\frac{1}{4} e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2}.

Die obenstehende Grafik zeigt die ersten sechs Lösungen \psi_n(\vec{x}). Neben den Wellenfunktionen ist auch deren Betragsquadrat dargestellt, welches die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im gegebenen harmonischen Potential angibt (rote Parabel in der linken Zeichnung).


Erlaubte Energieniveaus

Die Quantentheorie fordert, dass die physikalisch möglichen Zustände normierbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, d. h. im Hilbertraum liegen. Während die Differentialgleichung Lösungen für beliebige Energien hat, ergibt sich aus der Forderung nach Normierbarkeit

\int\limits_{-\infty}^\infty\mathrm{d}x\;|\psi_n(x)|^2=1,

dass nur diskrete Energien

E_n=\hbar\omega\left( n+\frac{1}{2}\right)

möglich sind, wobei n eine natürliche Zahl oder Null ist.

Nullpunktsenergie

siehe Hauptartikel: Nullpunktsenergie

Das obige Ergebnis hat fundamentale Folgen: Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur ganzzahlige Vielfache von \hbar\omega. Der Zustand mit der niedrigsten Energie ist E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega.

Daraus folgt, dass ein Oszillator selbst am absoluten Temperaturnullpunkt T = 0\;\mathrm K noch die Energie E0 besitzt. Dies äußert sich auch darin, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für n = 0 eine nicht-verschwindende Breite hat. Das Teilchen ist also nicht exakt bei x = 0 lokalisiert, wie man es von einem klassischen Oszillator erwarten würde. Diesen Sachverhalt nennt man auch Nullpunktsschwingung, bzw. Nullpunktsenergie.

Bild:Harmoszi nullpunkt.png

Man kann diesen Sachverhalt auch mit der Heisenbergsche Unschärferelation beschreiben. Im klassischen Fall hat das oszillierende Teilchen die exakte Position x = 0 und den exakten Impuls p = 0. In der Quantenmechanik besitzt ein Teilchen keinen exakten Ort und keinen exakten Impuls. Die Standardabweichung beider Observablen ist über die Unschärferelation verknüpft. Daher kann der Ort und der Impuls des Teilchens nur bis zu einer gewissen Grenze gleichzeitig angegeben werden. Dies lässt sich als Art räumliche „Verschmierung“ beschreiben, welche eine kinetische Mindestenergie des Teilchens zur Folge hat.

Alternativer Lösungsweg: Operatormethode

Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich mithilfe der Methode der Erschaffungs -und Vernichtungsoperatoren behandeln. Sie wurde von Paul Dirac, basierend auf Arbeiten von Niels Bohr und Otto Wiener, entwickelt. Dieser Lösungsweg wird auch algebraische Methode genannt.

Für diesen Lösungsweg definiert man zwei Operatoren \hat a und \hat a^\dagger, die einem Oszillator jeweils ein Energiequant \hbar\omega entziehen oder hinzufügen. Man nennt sie deswegen Vernichtungs- und Erzeugungsoperator. Andere gebräuchliche Bezeichnungen sind Leiteroperatoren und Aufsteige-/Absteigeoperator. Die Notation |\psi_n\rangle (siehe auch Bra-Ket-Notation) wird hierfür in die einfachere Schreibweise |n\rangle überführt. Ein solcher Zustand heißt Fock-Zustand oder Besetzungszahlzustand, weil er die Anzahl n der Energiequanten im Oszillator angibt. Man definiert diese Operatoren so, dass sie folgende Beziehungen erfüllen:

\hat a|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle und \hat a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle

Diese Formel macht die Namensgebung sofort plausibel, weil die Anwendung von \hat a von einem höheren Energieniveau |n\rangle in ein niedrigeres Niveau |n-1\rangle führt und für \hat a^\dagger umgekehrt. Aus diesen Operatoren lässt sich noch der sog. Besetzungszahloperator \hat n=\hat a^\dagger\hat a zusammensetzen, der die Anzahl der Energiequanten in einem Zustand (also die Zahl n) liefert:

\hat n|n\rangle=n\cdot|n\rangle

Nun lässt sich der Hamilton-Operator mit diesen neuen Operatoren umschreiben, zu:

\hat H=\hbar\omega\cdot\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac{1}{2}\right) =\hbar\omega\cdot\left(\hat n+\frac{1}{2}\right)

Die Operatoren \hat a und \hat a^\dagger lassen sich durch die kanonischen Operatore \hat x und \hat p darstellen::

  • Vernichtungsoperator: \hat a = \sqrt{\frac{m {\omega}}{2 \hbar}} (\hat x+\frac{i \hat p}{m{\omega}})
  • Erzeugungsoperator: \hat a^{\dagger}= \sqrt{\frac{m {\omega}}{2 \hbar}} (\hat x-\frac{i\hat p}{m{\omega}})

Zur Bestimmung der Eigenfunktionen kann man nun die Schrödingergleichung für den niedrigsten Zustand |0\rangle explizit lösen (dies ist eine sehr einfache Differentialgleichung) und erhält so dessen Ortsdarstellung. Alle weiteren Zustände erhält man dann über rekursive die Anwendung des Erzeugungsoperators auf diesen Grundzustand:

|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\hat a^\dagger\right)^n|0\rangle

Diese Methode ist ein sehr eleganter Weg den harmonischen Oszillator zu behandeln. Sie hat aber noch wesentlich weitreichendere Anwendungen. Stellt man sich etwa elektromagnetische Strahlung, aus Photonen zusammengesetzt vor, so kommt man leicht dazu für Photonen ebenfalls Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aufzustellen. Tatsächlich lässt sich sogar zeigen, dass man das elektromagnetische Feld als Ansammlung von harmonischen Oszillatoren beschreiben kann. Dabei steht jeder Oszillator für eine Lichtwelle bestimmter Frequenz ω. Dabei gibt dann n die Anzahl der Photonen in dieser „Mode“ des Lichtfeldes an. Allgemein nennt man ein solches Vorgehen zweite Quantisierung.

klassischer Grenzfall

Im Grenzfall großer Quantenzahlen n geht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit über. Diese klassische Wahrscheinlichkeitsdichte ist proportional zur inversen Geschwindigkeit 1/v. Je kleiner diese Geschwindigkeit v des klassischen Teilchens im Potential ist, desto länger verweilt es an einem entsprechenden Ort. Die Geschwindigkeit kann man direkt aus dem Energiesatz ableiten. Die folgende Abbildung zeigt die klassische und die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Je größer n wird, desto ähnlicher werden sich die Kurven:

Bild:Qmoszi klassischer grenzfall.png

Quasiklassische Zustände

Bild:Qmoszi quasiklassischer zustand.png
Zeitentwicklung eines quasiklassischen Zustandes im harmonischen Potential

Bringt man ein lokalisiertes Wellenpaket in ein harmonisches Potential (siehe Abbildung rechts), so verhält es sich, wie ein klassisches Teilchen in diesem Potential (daher quasiklassischer Zustand). Trifft es auf die Potentialränder, so wird es umdrehen und zurücklaufen. Effektiv führt es dann eine Schwingung im Potential aus.

Ein ganz ähnlicher Zustand wird erzeugt, wenn man ein zweiatomiges Molekül (z. B. Wasserstoff H2) mit Hilfe von intensiven Femtosekundenlasern anregt[2]. Oben wurde bereits erläutert, dass man für die Schwingung zweiatomiger Moleküle den harmonischen Oszillator als Näherung verwenden kann. In der folgenden Abbildung ist das Geschehen gezeigt:

Bild:Qm h2 pumpprobe.png

Zunächst wird mit einem Laserpuls eine tiefliegende, schmale Wellenfunktion in einen höheren Energiezustand angehoben. Dort bleibt sie weiter lokalisiert und beginnt sich als „quasiklassischer Zustand“ im Potential zu bewegen. Zur Messung wird dann ein zweiter Puls eingestrahlt, der das Molekül ionisiert. Die Position der Wellenfunktion gibt den Abstand der Atome im Molekül an. Aus der kinetischen Energie der Bruchstücke kann auf diesen Abstand und die Form des Wellenpakets geschlossen werden.

Quellen

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Franck: Quantenmechanik 1/2., 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York 1999
  • J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics., Addison Wesley

Links

Einzelquellen

  1. ↑ M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237 - 245, Berlin (vorgetragen am 14.12.1900)
  2. ↑ Th. Ergler, A. Rudenko, B. Feuerstein, et.al.: Time-Resolved Imaging and Manipulation of H2 Fragmentation in Intense Laser Fields In: Phys. Rev. Lett. 95, 093001, 2005
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