Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Hamilton-Formalismus

Aus Kefk.

Der 1833 von William Rowan Hamilton entwickelte Hamilton-Formalismus ist wie der Lagrange-Formalismus eine Formulierung der klassischen Mechanik. Er erlaubt die Herleitung von Bewegungsgleichungen für Probleme der klassischen Mechanik.

Der Übergang vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus ist gekennzeichnet durch die Ersetzung der generalisierten Geschwindigkeiten $\dot{q}_i$ durch den konjugierten Impuls $p i$ :

$p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}$ .

(L ist hier die Lagrange-Funktion).

Die Hamilton-Funktion ist die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten $\dot{q}_i$ :

$H\left(\left\{q_i\right\},\left\{p_i\right\},t\right) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L\left(q_i,\dot{q}_i,t\right)$

$\dot{q}_i = \dot{q}_i\left(q_i,p_i,t\right)$ .

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Die zu den Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus äquivalenten Bewegungsgleichungen des Hamilton-Formalismus sind gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Dies sind die kanonischen Hamilton-Gleichungen:

${\dot{q}}_j = { \partial H \over \partial p_j }$

${\dot{p}}_j = -{\partial H \over \partial q_j}$

Diese Bewegungsgleichungen sind besonders einfach zu lösen, falls eine der Ableitungen verschwindet. Durch geschickte Wahl der konjugierten Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten kann somit die Problemstellung häufig vereinfacht werden.

Beispiel: Harmonischer Oszillator

Ein-Massen-Schwinger als harmonischer Oszillator

Betrachten wir das Vorgehen anhand der Beispiele zum Lagrange-Formalismus:

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt für die kinetische Energie T und die potentielle Energie V

$T=\frac{1}{2} m \dot{x}^2, V=\frac{1}{2} c x^2$

$\Rightarrow L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{c}{2}x^2$

Der konjugierte Impuls ist in diesem Fall

$p = {\partial L \over \partial \dot{x}} = m \dot{x}$ ,

und die Hamilton-Funktion ist

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{c}{2}x^2 = T + V$

Zu beachten ist, dass die Hamilton-Funktion eine Funktion der Koordinaten und Impulse ist.

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als

$\dot{x} = {\partial H \over \partial p} = { p \over m }$

$\dot{p} = -{\partial H \over \partial x} = - c x$

Ableiten von $\dot{x}$ und dann $\dot{p}$ einsetzen (Wenn man $p$ einsetzt gibt es bei komplizierteren Bewegungsgleichung Fehler):

$\ddot{x} = {\dot{p} \over m}$
$\Rightarrow\ \ \ \ddot{x} = -\frac{c}{m} x$

mit der Lösung $x(t)=a\cdot\sin(\omega t) + b\cdot\cos(\omega t)$ , mit $\omega=\sqrt{c\over m}$ und $a, b = konst.$

Betrachtet man die Gleichungen für dieses Beispiel genauer, so erkennt man sofort den physikalischen Hintergrund:

der generalisierte Impuls p ist der Impuls aus der klassischen Mechanik
$H = T + V$ ist die Gesamtenergie des Systems
$\dot{p} = - c x$ ist das zweite Newtonsche Gesetz $\dot{p} = F$ mit der rücktreibenden Federkraft $F = - c x$