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Hamelbasis

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Die Hamelbasis eines Vektorraumes V ist eine Teilmenge B mit den Eigenschaften:

  • Sie ist linear unabhängig, d.h. eine endliche Linearkombination aus B liefert genau dann den Nullvektor, wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.
  • Jeder Vektor von V lässt sich als endliche Linearkombination aus B darstellen.

Benannt sind die Hamelbasen nach dem Mathematiker Georg Hamel.

Bei vielen unendlichdimensionalen Vektorräumen (beispielsweise bei den reellen Zahlen als Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen) ist es nicht möglich, eine Hamelbasis konstruktiv anzugeben; aus dem Auswahlaxiom lässt sich aber ableiten, dass für jeden Vektorraum eine Hamelbasis existieren muss.

Der Begriff der Hamelbasis ist identisch mit dem Begriff der Basis eines Vektorraums aus der linearen Algebra.

Hamelbasen spielen bei der Untersuchung von Funktionalgleichungen eine Rolle; so kann man beispielsweise mit einer Hamelbasis des Vektorraums der reellen Zahlen über dem Körper der rationalen Zahlen eine unstetige Lösung der Funktionalgleichung f(x + y) = f(x) + f(y) angeben.[1]

Orthonormalbasis ist nicht notwendig Hamelbasis

Zu beachten ist, dass für die Hamelbasis die Darstellung jedes Vektors als endliche Linearkombination gefordert wird; im Gegensatz zu Orthonormalbasen in unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen, mit deren Hilfe Vektoren als unendliche Summen dargestellt werden können. So lernt man beispielsweise in der Funktionalanalysis beim Studium von Fourierreihen, dass die Funktionen

B=\{ 1 \} \cup \{ \sin(nx), \cos(nx) | n = 1, 2, 3, \ldots \}

eine Orthonormalbasis des Vektorraums V aller komplexwertigen Funktionen sind, deren Quadrat im Intervall [0, 2π] (Riemann-)integrierbar ist, d.h. aller Funktionen f mit der Eigenschaft

\int_0^{2\pi} |f(x)|^2 \mathrm{d}x < \infty.

Die Funktionen in B sind linear unabhängig und jede in dem Intervall quadrat-integrierbare Funktion ist eine "unendliche Linearkombination" aus B. Das heißt, es gibt komplexe Zahlen ak, bk, so dass

\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^{2\pi} \left|\left(a_0+\sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)-f(x) \right|^2\,\mathrm{d}x = 0.

Jedoch sind die meisten Funktionen in V nicht als endliche Linearkombination aus B darstellbar. Damit ist B keine Hamelbasis. Als Vektorraum hat V zwar eine Hamelbasis, diese ist jedoch viel größer als diese abzählbare Orthonormalbasis (sie ist überabzählbar). Hamelbasen in Räumen wie diesen (unendlichdimensionalen Hilberträumen) sind von geringem Interesse; Orthonormalbasen sind dagegen wichtig für das Studium von Hilberträumen.

Quellen

  1. ↑ Hamel, G. "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)." Math. Ann. 60, 459-462, 1905.
Von „http://www.kefk.org/wiki/Hamelbasis“
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