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Halbwinkelsatz

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Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel α,β,γ ) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Die Sätze sind für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie) erweiterbar.

Halbwinkelsätze in der Ebene

Bild:Unregelmaessiges Dreieck.png
  • \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}
  • \cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}
  • \tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}

wobei s = \frac{(a + b + c)}{2}

Sätze gelten entsprechend für die anderen Winkel.

Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

  • \sin{\frac{\gamma}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-a) \sin(s-b)}{\sin a \sin b}}
  • \cos{\frac{\gamma}{2}} = \sqrt{\frac{\sin s \sin(s-c)}{\sin a \sin b}}
  • \tan{\frac{\gamma}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-a) \sin(s-b)}{\sin s \sin (s-c)}}

wobei s = \frac{(a + b + c)}{2}

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