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In der Mathematik versteht man unter der Hülle einer Menge eine Obermenge, die groß genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die kleinste Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Eine Hülle ist also eine Menge, die unter dem gegebenen Gesichtspunkt abgeschlossen ist.

So hat zum Beispiel jede (nichtleere) Punktmenge im R² (oder in einem anderen metrischen Raum) eine konvexe Hülle: Die Anforderung besteht darin, dass zu zwei Punkten aus der (Hüll-)Menge immer auch die zwischen diesen liegenden Punkte zur Menge gehören sollen. Es ergibt sich eine Menge, die von den „außen“ liegenden Punkten und ihren Verbindungslinien begrenzt wird.

Interessant ist auch der Hüllkörper zu einer Zahlenmenge: Verlangt wird, dass zu allen Elementen der Menge stets auch ihre Summe, ihre Produkt, ihre Differenz und ihr Quotient (außer bei Division durch Null) zur Menge gehören. Für jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen besteht die Hülle dann aus nicht weniger als allen rationalen Zahlen.</br>Nimmt man irgendeine weitere algebraische Zahl (zum Beispiel √2) hinzu, so ergibt sich ein neuer Körper.

Der Hüllenoperator ist nun die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihre Hülle zugeordnet wird.

Definitionen

Ein Hüllenoperator ist eine Abbildung H, die jeder Teilmenge einer gegebenen Menge X eine Teilmenge von X zuordnet und dabei folgende Eigenschaften hat:

1. Für alle Teilmengen A von X gilt , das heißt das Bild H(A) ist immer eine Obermenge von A (Extensivität),
2. für zwei Teilmengen A und B von X gilt , das heißt die Teilmengenrelation wird von H respektiert (Monotonie) und
3. für alle Teilmengen A von X gilt H(A) = H(H(A)), das heißt ist eine Menge bereits ein Bild unter H, so wird sie auf sich selbst abgebildet (Idempotenz).

Die Idempotenz führt dazu, dass man hier auch von einem Abschluss spricht, H heißt dann auch Abschlussoperator.

Ein Hüllensystem (X,S) ist eine Menge X zusammen mit einer Menge S, die aus Teilmengen von X besteht, mit folgenden Eigenschaften:

• X ist Element von S.
• Für jede Teilmenge T aus S ist der Schnitt der Elemente von T ein Element aus S, oder anders ausgedrückt: Der Durchschnitt von beliebig vielen Elementen von S ist selbst ein Element von S.

Hüllenoperatoren und Hüllensysteme entsprechen einander:

• Ist ein Hüllensystem auf A, dann kann man einen Hüllenoperator wie folgt definieren:

für alle .

• Umgekehrt kann aus jedem Hüllenoperator auf A ein Hüllensystem auf auf A gewonnen werden durch:

.

Beispiele

• Betrachten wir die Ebene R². Alle konvexen Teilmengen der Ebene bilden zusammen ein Hüllensystem, der zugehörige Hüllenoperator die Bildung der konvexen Hülle einer Teilmenge.
• Die abgeschlossenen Mengen eines topologischen Raumes bilden ein Hüllensystem. Der zugehörige Hüllenoperator ist die Bildung der abgeschlossenen Hülle einer Teilmenge und heißt Kuratowskischer Hüllenoperator.
• Ist eine Gruppe gegeben, so bilden ihre Untergruppen ein Hüllensystem. Der zugehörige Hüllenoperator ist die Bildung der Untergruppe, die von einer Teilmenge erzeugt wird.
• Die Normalteiler einer Gruppe bilden ein Hüllensystem.
• Die beiden Verkettungen στ und τσ einer Galois-Verbindung (σ,τ) sind Hüllenoperatoren.
• Die Bildung der Kleeneschen Hülle einer formalen Sprache ist ein Hüllenoperator.
• Der Sigma-Operator aus der Maßtheorie, der jeder Menge von Teilmengen eines Raumes die kleinste umfassende Sigma-Algebra zuordnet, ist ein Hüllenoperator.
• Die Inferenzoperation der formalen Logik ist ein Hüllenoperator.

Anwendungen auf Formale Sprachen und Komplexitätsklassen

Es sei eine Klasse von formalen Sprachen. Wir betrachten folgende Hüllenoperatoren auf :

• H_hom: Abschluss unter Homomorphismen:

Wenn , dann auch

• H_{e − hom}: Abschluss unter -freien Homomorphismen, wie H_hom, aber

• H_{inv − hom}: Abschluss unter inversen Homomorphismen:

Wenn , dann auch

• : Abschluss unter Vereinigung:

• : Abschluss unter Durchschnitt:

• : Abschluss unter Konkatenation:

• H_kleene: Abschluss unter Kleene-Stern:

Wenn eine Klasse und einer der obigen Hüllenoperatoren H die Eigenschaft hat, dass gilt , dann heißt unter der entsprechenden Operation (Homomorphismus, -freier Homomorphismus, inverser Homomorphismus, Vereinigung, Durchschnitt, Konkatenation bzw. Kleene-Stern) abgeschlossen.

Siehe auch: Mengensystem