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Gruppencode

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Ein Gruppencode ist ein Blockcode mit folgender Kodierungsvorschrift:

Es sind m linear unabhängige Generatorworte G_1,\ldots,G_m gegeben mit G_i = \{g_{i1},\ldots,g_{in}\}.

Der binäre Gruppencode entsteht dann durch eine Linearkombination aus den m Nutzbits der Codewortzeichens und den m Generatorworten.


Gruppencodes erfüllen folgende Eigenschaften:


Beispiel: Gegeben seien die Generatorworte G_1,\ldots,G_4 mit

  • G1 = 0000
  • G2 = 1100
  • G3 = 1010
  • G4 = 0011

Man erkennt leicht das diese linear unabhängig sind.

Nun wird mit folgender Kodierungsvorschrift verfahren: Für ein zu kodierendes Symbol, z.B. 0111, werden die Generatorworte modulo 2 addiert, für die im kodierenden Symbol eine 1 steht, also im Beispiel:

CW_i = 0 \cdot G_1 + 1 \cdot G_2 + 1 \cdot G_3 + 1 \cdot G_4 \mod 2 = 1100 + 1010 + 0011 \mod 2 = 0101

Es ist zu beobachten, dass bei binären Gruppencodes Codewörter immer additiv invers zu sich selbst sind.

Jeder Gruppencode enthält den Nullvektor als gültiges Codewort. Das Gewicht eines Gruppencodes ist definiert als das kleinste Codewortgewicht (Hamming-Gewicht) außer dem des Nullvektors. Speziell bei binären Gruppencodes gilt, dass der Hamming-Abstand dem Gewicht des Codes entspricht.

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