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Gruppentheorie

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Gruppe (Axiome EANI)

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Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z.B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Rechengesetze für Gruppen).

Beispielsweise folgt die Gruppe, die durch das Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/n entsteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element – entsprechend der Null bei der Addition – wäre hier die Nicht-Drehung oder äquivalent die Drehung um einen Winkel von 0°.

Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Evariste Galois, Niels Henrik Abel und Sophus Lie.

Eine Liste von Artikeln zum Thema Gruppentheorie ist die Liste gruppentheoretischer Artikel. Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar.

Inhaltsverzeichnis

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Eine Gruppe wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu abstrahieren, also um mit Symbolen statt mit Zahlen selbst zu rechnen. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von abstrakten Dingen oder Symbolen, und einer „Rechenvorschrift“ (Verknüpfung), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Ein Beispiel sind die ganzen Zahlen (dies ist dann die Menge) zusammen mit der Addition (dies ist die Verknüpfung).

Genauer gesagt: Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung von zwei Elementen dieser Menge, etwa "a + b" oder "a × b". Des weiteren müssen die folgenden Anforderungen erfüllt sein:

  1. Die Verknüpfung bildet die zwei Elemente in die selbe Menge ab, aus der sie kommen (Abgeschlossenheit).
  2. Die Klammerung beim Ausrechnen ist unerheblich (Assoziativität): a × (b × c) = (a × b) × c
  3. Es gibt ein Element, das nichts bewirkt (neutrales Element): a × 1 = 1 × a = a
  4. Es gibt ein Spiegelbild (inverses Element) zu jedem Element: 1/a hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit a das neutrale Element zu ergeben: a × 1/a = 1/a × a = 1

(Spezialfall: 5. Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, also a × b = b × a gilt (Kommutativität), dann liegt eine Abelsche Gruppe vor.)

Beispiele für (sämtliche Abelsche) Gruppen sind die ganzen Zahlen \Z mit der Addition "+" als Verknüpfung und der Null als neutralem Element, oder die rationalen Zahlen \Bbb Q ohne Null mit der Multiplikation "×" als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt. ("1/0" ist nicht definiert.)

Mathematische Definition des Gruppenbegriffs

Definition

Das Tripel (G,\circ,e) mit einer Menge G, einer zweistelligen Verknüpfung \circ:G\times G\rightarrow G und einem Element e\in G heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  • Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a, b \in G gilt: a \circ b \in G
  • Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)
  • Neutrales Element: Für alle Gruppenelemente a gilt a\circ e = e\circ a = a
  • Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement a existiert ein Element a − 1 mit a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e

Eine Gruppe (G,\circ,e) heißt abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung \circ symmetrisch ist, d.h. wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

Bemerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung \circ das Symbol \cdot benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann auch Einselement und wird durch 1 symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden.

Eine additiv geschriebene Gruppe liegt vor, wenn für die Verknüpfung \circ das Symbol + benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann auch Nullelement und wird durch 0 symbolisiert. Das zum Gruppenelement a inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch a − 1, sondern durch − a symbolisiert. Üblich ist die additive Schreibweise bei Abelschen Gruppen, während nicht Abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.

Wenn das neutrale Element einer Gruppe klar ist, kann anstelle von (G,\circ,e) auch (G,\circ) geschrieben werden. Ist auch die Verknüpfung klar, so schreibt man für die Gruppe üblicherweise nur G.

Abschwächung der Definition

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

  • Linksneutrales Element: Für alle Gruppenelemente a gilt e\circ a = a.
  • Linksinverses Element: Zu jedem Gruppenelement a existiert ein Gruppenelement a − 1 mit a^{-1}\circ a = e.

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition, denn es gilt:

  • Das linksinverse Element ist auch rechtsinvers, denn für beliebiges a\in G gilt:
a\circ a^{-1} = e \circ (a \circ a^{-1}) = ((a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ a^{-1}) = (a^{-1})^{-1}\circ ((a^{-1} \circ a) \circ a^{-1})
=(a^{-1})^{-1} \circ (e \circ a^{-1}) = (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1} = e
  • Das linksneutrale Element ist auch rechtsneutral, denn für beliebiges a\in G gilt:
a\circ e = a\circ (a^{-1}\circ a) = (a\circ a^{-1}) \circ a = e\circ a = a

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe

  • Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt
  • Das zu einem Gruppenelement a inverse Element a − 1 ist eindeutig bestimmt.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe

Die Mächtigkeit (Kardinalität) | G | der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung. Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.

Ordnung von Elementen

Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Ergibt ein Element a der Gruppe endlich viele Male mit sich selbst verknüpft das neutrale Element 1, d. h. es gilt: an = 1, so nennt man das kleinste derartige n die Ordnung des Elements a. Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.

Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt.

Untergruppen

Ist H eine Teilmenge der Trägermenge G einer Gruppe (G,\circ) und gelten für (H,\circ) die Gruppenaxiome, so nennt man H eine Untergruppe von G.

Hierzu ein wichtiger Satz: (Satz von Lagrange) Die Kardinalität (Anzahl Elemente) jeder Untergruppe H einer endlichen Gruppe G ist Teiler der Kardinalität der Gruppe G. Ist speziell | G | eine Primzahl, dann hat G nur die (trivialen) Untergruppen {e} (bestehend aus dem neutralen Element) und G selbst.

Nebenklassen

Definiert man auf der Menge G die Relation \sim durch:

a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H,

erhält man eine Äquivalenzrelation auf G. Die sog. Äquivalenzklasse zu einem Element a \in G (d.h. diejenigen Elemente b, so dass zwischen a und b die Relation besteht), ist die Menge

\{a \circ u \mid u \in H\}

und bezeichnet sie durch a \circ H oder kurz aH. Da diese Menge alle Elemente von G enthält, die durch Linksverknüpfung mit dem Element a mit sämtlichen Elementen aus H entstehen, heißt sie Linksnebenklasse von H nach dem Element a.

Die Menge aller Linksnebenklassen von H bezeichnet man mit G / H.

Definiert man eine andere Relation a \sim b durch

a \sim b \leftrightarrow ab^{-1} \in H,

so ergibt sich die Menge der zu a äquivalenten Elemente in G als

\{u \circ a \mid u \in H\}.

Diese Menge entsteht also durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus H mit dem Element a; sie wird entsprechend mit H \circ a oder kurz Ha bezeichnet und Rechtsnebenklasse von H nach dem Element a genannt.

Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen mit der Addition als G. Dann ist die Menge H aller ganzzahligen Vielfachen von 3 eine Untergruppe. Bildet man die rechten Nebenklassen, so erhält man folgende Tabelle: 

H     H+1   H+2  H+3=H  H+4=H+1 ...

...   ...   ...
-6    -5    -4
-3    -2    -1
 0     1     2
 3     4     5
 6     7     8
...   ...   ...

Man sieht, dass diese Tabelle wieder genau alle ganzen Zahlen enthält, wobei keine Zahl zweimal vorkommt. Für endliche Gruppen besagt der Satz von Lagrange: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert mit | H | ergibt | G | .

Die Spalten sind genau die Teilungsreste bei der Division durch 3. Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen, ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden Definition:

Normalteiler

Ist für jedes Element a \in G die linke Nebenklasse von H gleich der rechten, d.h. aH = Ha, so nennt man H einen Normalteiler von G.

Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler.

Faktorgruppe

<imagemap>-Fehler: Bild ist ungültig oder nicht vorhanden Die Artikel Faktorgruppe, Gruppentheorie#Faktorgruppe und Normalteiler#Faktorgruppe überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Die Diskussion über diese Überschneidungen findet hier statt. Bitte äußere dich dort, bevor du den Baustein entfernst. Gruß Azrael. 10:45, 24. Apr. 2007 (CEST)
Wikipedia
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Damit können wir nun unser Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist H ein Normalteiler, dann kann man auch nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe.

Dies geht wie folgt: man nimmt irgendein Element aus der einen Nebenklasse und verknüpft es mit einem beliebigen Element aus der anderen Nebenklasse. Die Nebenklasse, in der das Ergebnis liegt, ist das Ergebnis der zu definierenden Verknüpfung. Diese Definition ist konsistent, da das Ergebnis von der Wahl der Elemente unabhängig ist.

Die mit dieser Verknüpfung und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von G bezüglich H.

Zyklische Gruppen

Gibt es in G ein Element a, so dass man jedes andere Element als Potenz an (mit einer ganzen Zahl n, die auch negativ sein darf) schreiben kann, so nennt man G eine zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.

Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen

Eine nicht-triviale Gruppe heißt einfach, wenn sie keine Normalteiler außer der trivialen Gruppe und sich selbst hat. Die einfachen Gruppen spielen eine wichtige Rolle als "Grundbausteine" von Gruppen.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert. Sie lassen sich in einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen und 26 Ausnahmen, die sporadischen Gruppen einteilen.

Ausblick

Die Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem Zauberwürfel veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach als Unterrichtsmittel im akademischen Unterricht Einsatz gefunden hat, weil die Permutationen der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen.

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide: Für Halbgruppen wird nur die Assoziativität verlangt. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so spricht man von einem Monoid.

Eine andere Verallgemeinerung stellen die Quasigruppen dar.

Anwendung in der Chemie

Die Chemie beschäftigt sich mit Molekülen. Die Koordinaten der Atome der Moleküle in ihrer Gleichgewichtskonformation lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen haben die Eigenschaften von Gruppen, die sog. Punktgruppen. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Gruppentheorie auch für die Symmetrie von Funktionen gilt, also auch für Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

Beispielanwendungen aus der Chemie

  • Quantenchemie
    • Der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen kann unter Benutzung der Gruppentheorie erheblich verringert werden, z.B. hat ein Hamilton-Operator die gleiche Symmetrie wie sein System.
    • Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs (Symmetrieadaptierten Linearkombinationen aus Atomorbitalen), was in der MO-Theorie und Ligandenfeldtheorie Anwendung findet.
    • Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: Woodward-Hoffmann-Regeln).

Anwendung in der Physik

Die Symmetriegruppen der Kristalle werden selbstverständlich auch für die Festkörperphysik verwandt.

Zudem baut die Quantenmechanik vielfach auf Symmetriegruppen und Lie-Gruppen auf. So werden die Elektronenspinzustände durch die Paulischen Spinmatrizen-Gruppe beschrieben. Auch in der Kernphysik werden gruppentheoretische Überlegungen zur Beschreibung des Kernaufbaus verwandt. In der Teilchenphysik und den Quantenfeldtheorien schließlich findet die Gruppentheorie Anwendung als Ordnungsschema.

Siehe auch

Weblinks

  • Gruppenzwang – eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet
Wikipedia
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