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Grothendieck-Universum

Aus Kefk.

In der Mathematik heißt eine Menge $U$ Grothendieck-Universum, falls sie folgende Axiome erfüllt:

$x \in U \Longrightarrow x \subseteq U$
$x \in U \Longrightarrow \mathcal{P}(x) \in U \qquad$ wobei $\mathcal{P}$ den Potenzmengenoperator bezeichnet
$x \in U \Longrightarrow \left\{x\right\} \in U$
Für jede Familie $\left\{ x_i \right\}_{i \in I}$ mit $I \in U$ und $x_i \in U \; \forall \, i \in I$ gilt: $\bigcup\left\{x_i : i \in I \right\} \in U$ .
$U$ ist nicht leer.

(Diese Definition entspricht derjenigen von P. Gabriel, vgl. Literatur.)

Die Idee des Grothendieck-Universums stammt vom Mathematiker Alexander Grothendieck, um der Kategorientheorie eine mengentheoretische Grundlage zu geben, entstanden im Rahmen der Verallgemeinerung der Homologietheorie in der Algebraischen Geometrie.

Unerreichbare Kardinalzahlen

Eine Kardinalzahl (Mathematik) $κ$ heißt (stark) unerreichbar, falls gilt:

$\mathrm{card}\left(\cup \left\{ x_i : i \in I \right\} \right) < \kappa$ für jede Klasse $\left\{ x_i \right\}_{i \in I}$ von Mengen mit $card(I) < κ$ und $\mathrm{card}(x_i) < \kappa \quad \forall \, i \in I$
$\alpha^\beta < \kappa \quad \forall \, \alpha, \beta < \kappa$

Die einzige in der ZFC-Mengenlehre bekannte unerreichbare Kardinalzahl ist $\aleph_0$ (siehe ZFC-Mengenlehre). Die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen kann im Rahmen dieser Theorie nicht bewiesen werden, sondern muss durch ein neues Axiom postuliert werden.

Der Zusammenhang zwischen unerreichbaren Kardinalzahlen und Grothendieck-Universen wird nun durch folgenden Satz hergestellt:

Für eine Menge $U$ sind folgende Eigenschaften äquivalent:

$U$ ist ein Grothendieck-Universum
Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl $κ$ so, dass für jede Menge $X \in U$ gilt: $X \subseteq U \Longleftrightarrow \mathrm{card}(X) < \kappa$

Also kann die Existenz von Grothendieck-Universen im Allgemeinen nicht im Rahmen der ZFC-Mengenlehre bewiesen werden, allerdings sind nur relativ schwache Zusatzvoraussetzungen notwendig, nämlich die Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen.

Anwendung in der Kategorientheorie

Unter Annahme der Existenz einer echten Klasse von unerreichbaren Kardinalzahlen können mit Hilfe von Grothendieck-Universen in der Kategorientheorie Aussagen über alle Mengen gemacht werden.

In einem ersten Schritt betrachtet man nur Mengen mit einer Kardinalität echt kleiner als $κ$ , wobei $κ$ eine unerreichbare Kardinalzahl ist. Diese Mengen bilden dann ein Grothendieck-Universum $U$ , in welchem die gewünschten Konstruktionen durchgeführt werden können. Um eine Aussage über alle Mengen machen zu können, wird für jede Menge eine entsprechende unerreichbare Kardinalzahl benötigt, die echt größer als die Kardinalität der Menge, damit ein passendes Grothendieck-Universum existiert. All diese unerreichbaren Kardinalenzahlen bilden zusammen eine echte Klasse.

Siehe auch

Universum (Mathematik)

Literatur

Andreas Blass: The interaction between Category theory and Set theory. Mathematical Applications of Category Theory. Contemporary Mathematics, vol. 30, AMS 1984
N. H. Williams: On Grothendieck universes. Compositio Mathematica, vol. 21, 1969
A. H. Kruse: Grothendieck universes and the super-complete models of Shepherdson. Compositio Mathematica, vol. 17, 1965
P. Gabriel: Des catégories abéliennes. Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 90, 1962

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Anwendung in der Kategorientheorie

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